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专题59 圆与圆的位置关系
专题知识梳理
1.如果两圆的半径分别为R,r(Rr),两圆心之间的距离为d,则两圆
相离?dR+r;外切?______ ;
相交?__________;
内切?__________;
内含?__________.
2.两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条.
3.当两圆相交时,将两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.
考点探究
考向1 圆与圆的位置关系
【例】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
题组训练
1.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足MA2+MO2=10,则实数a的取值范围是____.
2.在平面直角坐标系中,已知圆:,圆:.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周,则圆的方程是 .
3.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程是____.
4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2eq \r(3),则a=____.
5.求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
6.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2的坐标为(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内公切线方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点,且AB=2eq \r(2),求圆O2的方程.
考向2 圆的综合应用
【例】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得eq \o(TA,\s\up6(→))+eq \o(TP,\s\up6(→))=eq \o(TQ,\s\up6(→)),求实数t的取值范围.
题组训练
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-2)2+y2=4及点A(-1,0),B(1,2).
(1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,MN=AB,求直线l的方程;
(2)在圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12?若存在,求点P的个数;若不存在,说明理由.
2.在平面直角坐标系中,圆M:,点N为圆M由任意一点.若以N为圆心,ON为半径的圆与圆至多有一个公共点,求的最小值.
3.(2018苏北四市一模)在平面直角坐标系中,若圆上存在点,且点关于直线的对称点在圆上,则的取值范围是 .
4.已知圆,是否存在斜率为1的直线,使以被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.
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