第一章-误差理论基础.ppt

* 对于子样，标准偏差的计算略有不同（实际应用，工程表达式）： ① 当真值（或约定真值）x0已知（如象砝码那样的上一级标准器具的值）时，可参考上式计算，仅n为有限值（不取极限）； ② 当真值（或约定真值）x0未知时，必须以子样的算数平均值?x代替真值x0（最佳估值?x＝?x0），以残差vi代替测量误差δi。因此，不能再用上式计算。 n次测量有n个自由度，因为计算?x已失掉1个自由度，所以测量值的标准偏差的估值如下：（贝塞尔公式） * 当n→∞时，（n－1）→n，子样→母体，?σ→σ，于是，子样和母体的计算公式就趋于一致了。 母体的均方根误差σ称为标准偏差，子样的均方根误差?σ称为标准偏差的估计值 。 当n较小时，必须用贝塞尔公式计算σ值。 由于测量次数有限，因此?x与x0仍有一定的误差。可以证明，算数平均值的标准偏差?S是测量值的标准偏差?σ的1/??n倍，即 * 式中，残差vi＝xi－?x。?S是随??n的增加而减小的， ?S的变化比??n慢，当n≥50时，?S减小的效果就不明显了。故通常取n为10～20即可，实际应用中的测量次数很少会超过50次。 下面介绍贝塞尔公式的另一种形式。 当n较大时，用该式计算比较方便。 考虑到 ?x＝(1/n)?xi， 由式（1-24）可得： * * 若xi值太大，可任选一与xi接近的B，作变换： yi＝xi－B，∵yi－?y＝xi－?x＝vi，∴有 优点： ① 由于不需要事先求出算数平均值，因此在实际计算中，不会因求算数平均值时除不尽而产生舍入误差； ② 在舍弃坏值之后（后面§1.5将介绍），不需要重复计算每个vi及vi2值，大大简化了计算； ③ 在设计计算机应用系统时（如利用单片机），由于计算更简单、且不需要准备n个单元来存放所有测量值xi，因而有效地节约了计算机内存单元。 * 1.4 置信区间与置信概率 置信区间：定义为随机变量的取值范围，用符号±l或（－l～＋l）来表示。 由于标准偏差σ是正态分布的重要特征，因此常以均方根误差σ的倍数来表示置信区间：±l＝±Zσ 。 其中，Z称为置信系数（常取整数，但也可以取小数），l＝Zσ称为置信限。 置信概率：随机变量ζ在置信区间（－l～＋l）内取值的概率，其表示方法为（σ为常量） * 置信区间和置信概率二者结合起来称之为置信度，即可信程度。 由此可见，从统计学的角度正确说明一个测量结果，必须指明其可信程度——即必须同时给出置信区间和置信概率这两个重要指标。 置信水平（亦称显著性水平）：随机变量ζ在置信区间以外取值的概率，即 ?(Z)＝1－?(Z)＝P{|?|＞Zσ} （1-28） * 正态分布的置信区间和置信概率如右图所示。 显然，置信区间越宽，置信概率就越大，随机误差的范围也越大，对测量准确度的要求就越低； 反之，置信区间越窄，置信概率就越小，随机误差的范围也越小，对测量准确度的要求就越高。 f(δ) 置信概率 P=φ(Z)=1-α 图1-5 置信区间与置信概率 置信区间±l δ 0.5α 0.5α * 下面讨论：当置信区间取不同大小时，或者说当均方根误差σ一定、置信系数Z取不同的典型值时，置信概率有多大，它们有什么意义。 当置信区间为±l＝±Zσ时，正态分布的置信概率为： 做变量代换，令δ＝Zσ，则dδ＝σdZ，积分限由0～Zσ变为0～Z，故有： * 此即表示置信概率的拉普拉斯函数，它是置信系数Z的函数。当已知标准偏差σ时，置信度——即置信区间和置信概率就由拉普拉斯函数给出了。 下表是一组典型值，注意Z取典型值的几个特殊情况。 Z 置信区间 置信概率 置信水平 1 ±σ ?(Z)＝P{| δ |≤σ}＝0.6827≈2/3 ?(Z)＝0.3173≈1/3 2 ±2σ ?(Z)＝P{| δ |≤2σ}＝0.9545≈21/22 ?(Z)＝0.0455≈1/22 3 ±3σ ?(Z)＝P{| δ |≤3σ}＝0.9973≈369/370 ?(Z)＝0.0027≈1/370 通常将2σ或3σ称为极限误差（最大可能出现误差）：?＝δlim＝2σ或3σ * 1.5 粗差的判别准则 根据“统计法”来判别： 给出一个置信水平值，常给定α＝0.05或0.01，然后确定相应的置信区间，在置信区间外的误差即为粗差，它所对应的测量值即为坏值，应予舍弃。 设有一等精度独立测量列xi（i＝1，2，…，n），其算数平均值为?x，残差为vi＝xi－?x；按贝塞尔公式计算出的测量值的标准偏差为σ，取极限误差为3σ，则拉依达准则（通常亦称为3σ准则）可由下式表示： |vb|＝| xb－?x |＞3σ （1-31）