2021届高三数学三轮复习1.5数列与数学归纳法第一篇 排查考点夯基础 【原卷版】.docxVIP

PAGE8 / NUMPAGES8 专题1.5 数列与数学归纳法 1.已知数列的前几项，求数列通项公式时，应注意四个特征：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想、利用数学归纳法进行证明. 由递推关系求数列通项公式时的常用方法有： （1）已知，且，可用“累加法”求； 已知，且，可用“累乘法”求； 已知，且，则，（其中可由待定系数法确定），可转化为数列成等比数列求； （4）形如为常数）的数列，可通过两边同时取“倒数”构造新数列求解.注意求出时，公式是否成立. 3.与关系的应用问题： （1）由与前项和关系求时：，当时，若适合（），，则时的情况可并入时的通项；否则用分段函数的形式表示. (2)由与前项和关系求，通常利用（）将已知关系式转化为与的关系式，然后求解. 4.判定一个数列是等差数列的方法： （1）用定义法（当时，为同一常数）； （2）等差中项法（）； （3）为常数）； （4）为常数）. 5.解决等差数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公差与首项来表示，列出方程进行求解. 6.求等差数列前项和的最值的常用方法： （1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的性质求最值； （2）用通项公式求最值：求使成立时的最大值即可. 7. 判定一个数列是等比数列的方法： （1）定义法（为同一常数）； （2）等比中项法（）. 8.解决等比数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公比与首项来表示，列出方程进行求解. 9．数列求和常用方法有： （1）公式法：直接利用等差、等比数列的前项和公式求和(等比数列求和需考虑与)； （2）倒序相加法：若一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项和相等或等于同一个常数，这样的求和问题可用倒序相加法； （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的求和问题可用错位相减法； （5）分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.学@科网 10.与数列的关的不等式证明问题，需灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法等. 11.明确数学归纳法证明命题的步骤 (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基． (2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推． 完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 【说明】数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可． 一、单选题 1.（2021·湖南永州市·高三二模）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ） A．小寒比大寒的晷长长一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长长 【要点回扣】1.数学文化；2.等差数列及其求和. 2.（2020·湖南长郡中学高三月考（文））记为等差数列的前项和.若，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【要点回扣】等差数列通项公式、求和公式. 3. （2021·浙江省武义第三中学高三月考）十三世纪意大利数学家列昂那多.斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，记其前项和为，若为常数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【要点回扣】数列的递推式、数列的性质. 4.（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知数列为等差数列，则“为有理数”是“数列中存在有理数” （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【要点回扣】充要条件、等差数列的前n项和. 5．（2021·安徽安庆市·高三一模（文））已知等差数列满足，，则数列的最大项为（ ） A． B． C． D． 【要点回扣】1.等差数列的前项和、性质；2.基本不等式的应用. 6．（2021·全国高三开学考试（文））已知数列的前项和为，若，为等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【要点回扣】1.等比数列的求和；2. 等差数列的性质；3.对数的运算性质；4.将化为从而得是本题的解题的关键点