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第一部分 线性规划问题的求解
一、两个变量的线性规划问题的图解法:
㈠概念准备:定义:满足所有约束条件的解为可行解;可行解的全体称为可
行(解)域。
定义:达到目标的可行解为最优解。
㈡图解法:
图解法采用直角坐标求解: x1——横轴;x2——竖轴。1、将约束条件(取等
号)用直线绘出;
2、确定可行解域;
3、绘出目标函数的图形(等值线),确定它向最优解的移动方向;
注:求极大值沿价值系数向量的正向移动;求极小值沿价值系数向量的反向移动。
4、确定最优解及目标函数值。
㈢参考例题:(只要求下面这些有唯一最优解的类型)
例1:某厂生产甲、乙两种产品,这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工,每种产品在不同设备上加工所需的工时不同,这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设
备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示:
消
设
备
利润
A
B
C
(万元)
耗
产
品
甲
3
5
9
70
乙
9
5
3
30
有效总工时
540
450
720
——
问:该厂应如何组织生产,即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大
(此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大 M法求解)
解:设x1、x2为生产甲、乙产品的数量。
maxz=70x1+30x2
.
⑴
3x1
9x2
540
⑵
5x1
5x2
450
⑶
9x1
3x2
720
⑷
x1,x2
0
⑸、⑹
可行解域为oabcd0,最优解为b点。
由方程组
5x1 5x2 450
9x1 3x2 720
解出x1=75,x2=15
x1
∴X*=x2 =(75,15)T
∴maxz=Z*=70×75+30×15=5700
例2:用图解法求解
maxz=6x1+4x2
⑴
.
2x1
x2
10
⑵
x1
x2
8
⑶
x2
7
⑷
x1,x2
0
⑸、⑹
解:
可行解域为oabcd0,最优解为b点。
由方程组
2x1 x2 10
x1 x2 8
x1
∴X*=x2 =(2,6)T
解出x1=2,x2=6
∴maxz=6×2+4×6=36
例3:用图解法求解
minz=-3x1+x2
⑴
.
x1
4
⑵
x2
3
⑶
2x1
5x2
12
⑷
x1
2x2
8
⑸
x1,x2
0
⑹、⑺
解:
可行解域为bcdefb,最优解为b点。
x1
4
4
由方程组
5x212
解出x1=4,x2=5
2x1
∴X*=
x1
4
=(4,
)T
x2
5
4 1
minz=-3×4+5=-115
二、准型性划的形解法:
㈠一般思路:
1、用易行的方法得初始基本可行解;
2、上述解行,其是否最解,若是,停止迭代,否入 3;
3、根据θL确定改解的方向;
4、根据可能改的方向行迭代得到新的解;
5、根据新解行,若是最解,停止迭代,否入 3,直
至最解。
㈡具体做法(可化准型的情况):
已知
maxz=c1x1+c2x2+?+ncxn
.
a11x1
a12x2
...
a1nxn
b1
a21x1
a22x2
...
a2nxn
b2
am1x1
am2x2
...
amnxn
bm
xj
0,j
1,2,...,n
第i个方程加入松弛量
xn+i,i=1,2,?,m,得到
a11x1
a12x2
...
a1nxn
xn1b1
a21x1
a22x2
...
a2nxn
xn2b2
am1x1
am2x2
...amnxn
xnmbm
xj
0,j
1,2,...,n
列表算,格式、算法如下:
CB
XB
c1
c2
?
cn+m
b
θL
x1
x2
?
xn+m
cn+1
xn+1
b1
a11
a12
?
a1n+m
cn+2
xn+2
b2
a21
a22
?
a2n+m
.
.
.
.
.
.
?
?
?
?
.
.
.
cn+m
xn+m
bn
am1
am2
?
amn+m
z
z
?
zn+m
1
2
σ1
σ2
?
σn+m
m
注①:zj=cn+1a1j+cn+2a2j
+?+cn+mamj=
cniaij,(j=1,2,?,n+m)
1
j=cj-zj,当σj≤0,当前解最。
注②:由max{σj}确定所的行的量“入基量”;
由θL=min
biaik0确定所的行的量“出基量”,行、列交
i
aik
叉主元素,迭代要求将主元素
1,此列其余元素0。
例1:用形法求解(本即是本料P2“解法”例1的形解法;也可化“偶”求解)
maxz=70x1+30x2
.
3x1 9x2 540
5x1 5x2 450
9x1 3x2 720
x1,x2 0
解:加入松弛量 x3,x4,x5,得到等效的准模型:
maxz=70x1+30x2+0x3+0x4+0x5
.
3x1
9x2
x3
540
5x1
5x2
x
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