2021年高考数学二轮复习(上海专版)专题08数学归纳法与极限(原卷版)(00001).docVIP

专题08数学归纳法与极限 专题点拨 ?数学归纳法证明问题有两个步骤：先证当 n取第一个值no时命题成立，然后假设当 n= k(k€N*, k%°) 时命题成立，并利用假设证明当 n= k+ 1时命题也成立，这两步缺一不可，要完整地书写. 用数学归纳法证明的问题有：可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几 何问题等. ?数列的极限的四则运算，特别是掌握只有在数列 ｛an｝和｛bn｝的极限存在的条件下，才有四则运算，且数 列运算性质是针对有限项数列运算的性质，不能推广至无限项. 1 一 数列的三个基本极限：limnite = c, lim ?= 0, lim nT8qn= 0(|q|v 1),它们是极限运算的基础，但是 要区别，如果q是收敛的等比数列的公比时， 0v|q|v 1. 计算数列极限的类型也有两种：一是根式型；二是分式型，它们都有自己的运算特点. 无穷等比数列各项和的公式 S=-^,可用于化循环小数为分数和解相应的应用题， 这时关键是找出等 1 - q 比数列的首项和公比，然后代入公式计算. 真题赏析 (2016上海)已知无穷等比数列的公比为 q，前n项和为Sn,且Sn= S.下列条件中，使得 2Sn<S(n€N*) 恒成立的是() a1>0, 0.6<q<0.7 a1<0, — 0.7<q<— 0.6 a1>0, 0.7<q<0.8 a1<0, — 0.8<q< — 0.7 (2016 上海)对于无穷数列｛an｝与｛bn｝，记 A= ｛x|x= an, n €N*｝ , B= ｛x|x= bn, d €N*, n €N*｝，若 同时满足条件：€｛n｝, ｛bn｝均单调递增；€A AB = €且A €B= N*，则称｛an｝与｛bn｝是无穷互补数列. (1)若an= 2n — 1, bn= 4n — 2,判断｛an｝与｛bn｝是否为无穷互补数列，并说明理由； ⑵若an= 2n且｛an｝与｛bn｝是无穷互补数列，求数列 ｛bn｝的前16项的和； ⑶若｛an｝与｛bn｝是无穷互补数列，｛an｝为等差数列且a16= 36,求｛an｝与｛bn｝的通项公式. + +1— 1)= an+1 + 1，试用数学归纳法证明: Pn(a1a2…an+ 1) = (1 + a1)(1 + a0 …(1+ an). 【例 1 】已知数列｛an｝满足：na. 2 1007(n 1总 1 2018(n 1)an(n N*)，且 a1 1 , a2 2，若 limnan 1 lim n an 1 A，则A an an) an) * 1，贝U a1的取值范围是 2 1 +右+ 孑＜3， 【例2】在无穷等比数列{an}中，limg a2 n 1117 1 +对孕+产4， 根据上述规律，第n个不等式应该为 . 【变式训练】数列{2n— 1}的前n项1, 3, 7,…，2n— 1组成集合An= {1 , 3, 7, 2n— 1}(n €N*)，从集合 An中任取k(k= 1, 2, 3,…，n)个数，其所有可能的 k个数的乘积的和为 Tk(若只取一个数，规定乘积为此 数本身)，记 Sn= T1 + T2+ - + Tn,例如当 n= 1 时，A1 = {1} , T1 = 1, S1= 1;当 n= 2 时，A2= {1 , 3}, T1 = + 去＜2， + 3 , T2= 1x3 S2= 1 + 3+ 1X3= 7,试写出 Sn + 去＜2， 【例4】已知n为正整数，试比较 n2与2n的大小. 【变式训练】已知fn(x) = (1 + ,x)n, n €N*. (1)若 g(x)= f4(x) + 2f5(x) + 3f6(x)，求 g(x)中含 x2 项的系数； ⑵若Pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和， 数列{an}是各项都大于1的数组成的数列，且a^2…an(an 巩固训练 、填空题 1?无穷等比数列｛an｝的前n项和为Sn, 若a1 2，且S2015 2S2016 3 S2017，则无穷等比数列｛an｝的各项 和为 2.已知数列 ｛an｝，其通项公式为an 3n 1, n N* , {a.}的前 n项和为 & ,则 lim ngan 3.已知数列 ｛an｝是首项为1 ,公差为 2的等差数列，Sn是其前n项和，则n1谆 4.若二项式 (2x a)7的展开式中一次项的系数是 70，则lim(a a2 a3 x n n\ a ) 5.若数列｛an｝的前n项和Sn 3n2 * a 2n 1(n N )，则 lim n n 3n 二、选择题 6.数列an满足an n, n ak，n 2k 2k 1k N ，设 fn aazL a^a^，则 f 2013 f 2012 () A. 22012 B. 22013 C. 42012