海南省2015年中考数学科第23题解法赏析.docx

海南省 2015 年中考数学试题第 23 题解法赏析 孙孝武（海南省教育研究培训院） 邓之淮（海南省文昌中学） 陈 文（海南华侨中学） 海南省 2015 年中考数学试题整体难度比去年有所下降，第 23 题是以菱形为基本图形，通 过添加适当的辅助线，转化为综合考查三角形、四边形等图形的性质与图形变换等核心知识的 一道“压轴题”，解题方法灵活多样，关注对数学思想方法与学生探究能力的考查，并有一定 的梯度和区分度，又是海南省 2015 年数学中考试题的一大亮点。 一、试题解析 海南省 2015 年初中毕业生学业考试数学科试题第 23 题为： 23．（满分 13 分）如图 9-1 ，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，∠ BCD = 60 °，射线 AP 交 BC 的延长线于点 E ，射线 BP 交 DE 于点 K ，点 O 是线段 BK 的中点． （ 1）求证：△ ADP ≌△ ECP ； （ 2）若 BP = n· PK ，试求出 n 的值； （ 3）作 BM⊥ AE 于点 M，作 KN ⊥AE 于点 N，连结 MO 、 NO ，如图 9-2 所示． 请证明△ MON 是等腰三角形，并直接写出∠ MON 的度数． A D A D K M K P P O O N B C E B C E 图 9-1 图 9-2 此题设置分三个小题四个问题，第（ 1）小题内容是全等三角形的证明，属基础题型，考查 学生最基本的几何推理能力； 第（ 2 ）小题实质是求两条线段的比值问题，可以通过添加常规 辅助线构造相似三角形， 利用相似三角形的性质、 三角形中位线或解直角三角形等知识来求解， 主要考查学生对核心数学知识与数学基本技能的理解与掌握；第（ 3 ）小题设置两个问题，主要 考查学生对核心数学知识与思想方法的深层次掌握和理解。 其中证明 “△ MON 是等腰三角形” ， 由于图形变化，给学生添加辅助线解决问题带来干扰，使得难度增加； “直接写出∠ MON 的度 数”则是突出了对学生的探究问题、转化与综合解决问题能力的考查，难度系数更高。题目中 的三个问题的难度呈“易、中、难”分布，能满足不同数学能力的学生解答，渗透了“猜想、 数学建模、化归和数形结合”等重要数学思想方法，不乏基础知识与基本方法却又有较高的思维 含量，作为“压轴题”之一，是有一定的区分度和选拔功能的。 二、解法赏析 第（ 1）小题是基础题型，是全等三角形的证明，属基本几何推理能力的考查，学生答题 得分率较高；第（ 2）、（ 3）小题都需要添加辅助线，有一定的难度和技巧，学生答题思维空 间广阔，解法灵活多样，大放异彩。下面就第（ 2）、（ 3）小题收集了学生的部分解法与大家赏析： 第（ 2）小题是中等难度的题目，其解法多种多样，其方法是围绕着点 P 是边 CD 的中点、 中 O 是线段 BK 的中点构造平行线，利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质进行论证。 解法一： 过点 C 作 CI∥BK 交 DE 于点 I ∵点 P 是 CD 的中点， CI =2PK 又由（ 1）知△ ADP ≌△ ECP AD =CE=BC 即点 C是BE的中点 BK =2CI ，∴ BK =4PK BP =3PK ，∴ n=3 解法二： 连接 OC ， ∵ 四边形 ABCD 是菱形 AD =BC ， 又由（ 1）知△ ADP ≌△ ECP ∴ CE =AD=BC ，即点 C 是 BE 中点，又点 O 是线段 BK 的中点，∴ BO=OK CO ∥DE ， ∴∠ OCP= ∠ KDP ， 点 P 是菱形 ABCD 边 CD 上的中点， ∴ CP =DP ，又∠ CPO= ∠ DPK ， ∴△ CPO ≌△ DPK （ ASA ） 1 ∴ PK =PO= OK ，  A D K P I O B C 图 9-1 A D K P O B C 图 9-1  E E 2 设 PK=x ，则 PO=x ， BO=OK =2x ，则 BP=3x ，即 BP=3PK ，即 n=3 点评： 这两种方法是通过作平行线构造相似三角形，利用三角形的中位线及相似三角形的相似 比的性质来求解，是常规解法，大部分学生都选择了这种方法，还可以过点 P 作  PI∥CE 或 PI∥DE 等。 解法三： 连接 AC 由（ 1）知 AD=CE ∵ 四边形 ABCD 是菱形 A AD=BC ，AD∥BC ∴四边形 ACED 是平行四边形 AC∥DE 由 AD=CE ， AD=BC 可得 BC =CE 又点 O 是 BK 的中点， AC过点 O BO=OK 又平行四边形 ACED 是中心对称图形 PK =PO ，∴ BO=2PK ，∴ BP=3PK ，即 n