不定积分解题方法 第1讲(凯哥).pdf

B 站昵称：考研竞赛凯哥 不定积分解题方法大全 第1 讲 ——有理函数和三角有理函数的积分 主讲人：凯哥 不定积分是很多同学在复习考研数学时的一个拦路虎，这是因为不定积分的题目解法众多，并且不易总结。 很多同学向我反映 （以下都是真实的反馈）—— “凯哥，不定积分的题目，怎么一个题目一个方法啊，感觉根本没有固定方法，这可怎么办啊？” “凯哥，三角函数的各种积分，各种变形简直太灵活了，完全想不到啊！” “凯哥，我拿到一个不定积分题目以后，要么不知道如何下手，要么就在草稿纸上瞎做，把一个很简单的 积分题越算越复杂，算到最后直接放弃了”。 …… 为了解决广大学子提出的这些疑惑，我仓促间编写了这份讲义，取名为《不定积分解题方法大全（共3 讲）》。 这是第 1 讲的讲义，主要内容为 “有理函数的积分”和 “三角有理函数的积分”，其中虽然也会用到一些换元 法和分部积分法，但它们并不是这一次课的重点，只是解题过程中避不开的一些操作而已。我们会在第2 次课 详细介绍考研数学中的换元法和分部积分。 总之，你只要配合我的视频，把本讲义 （共3 讲）的题目全部吃透，对付考研的不定积分如同探囊取物。 套路一 有理函数的积分 （一） 有理函数积分的通用方法 当遇到题目是有理函数的积分时，我们一般采用有理函数积分的标准解法—— “裂项+待定系数法”，对于 某些特定有理函数的积分，也许有更加“巧妙”的方法，我们后面的例题也会涉及；但是希望大家不要过于追 求这种巧妙的解法，还是应当以基本方法为主； 至于裂项的时候怎么裂，这是很多同学一直都搞不懂的问题，我简要总结如下—— 我们将有理函数从宏观上分为真分式和假分式，而任何一个假分式都可以通过多项式的除法变成多项式与 真分式之和，由于多项式的积分是简单的，所以解决有理函数的积分，本质上就变成了解决有理真分式的积分。 而对于真分式的积分，我们有如下固定套路—— Step1 将该真分式分母进行因式分解(一直分解到无法再分解为止) ； Step2 然后进行裂项，裂项的原则为—— ①只要分母中含有 ，则裂项后的式子中一定含有 ； ②只要分母中含有 ，则裂项后 的式子中一定含有 Step3 将裂项以后所得的所有项进行通分，根据“通分后的分子与原被积函数的分子的对应系数相等”的原 则，列出待定系数满足的方程，然后解出待定系数。这样，就将真分式分解成了各个基本分式之和。 Step4 对于①中所得到的的一系列基本分式，它们的积分十分容易； 对于②中所得到的一系列基本分式，其计算稍微复杂一点，但其实所有形如 的积 分，求解也有通用方法；尤其是在考研范围内，分母中的 要么为1，要么为2 ，不可能更高，所以我们只需要 把 和 的计算学会就可以了。我们在下面的例题 1 和例题2 中，会详细介 绍这两个积分的计算方法。至此，整个有理函数的积分便已找到了一个完善的方法。 认真学习本讲义，彻底搞定不定积分！ B 站昵称：考研竞赛凯哥 总之，通过裂项，最终会归结于计算 、 和 的三类积分。 例题1 注：通过该题，可以总结出一切 的积分，其套路为 “改造分子，拆分为两个积分，其中 第一个积分直接凑微分，第二个积分配方后套公式即可”。 例题2 提示：三角换元当然可行，下面的类题也是如此，大家可以尝试一下。但是，本题是否有其它方法？ 再提示：分母次数太高了，有没有什么办法可以降低分母的次数呢？ （答：分部积分！） 类题 注1：通过以上2 题，可以推出所有