第一章 §1.6　基本不等式.docxVIP

§1.6　基本不等式 考试要求　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用． 1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)． (3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)． (4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大) 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”． 微思考 1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2吗？ 提示　不是．因为函数y＝x＋eq \f(1,x)的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋eq \f(1,x)无最小值． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是相同的．(　×　) (2)(a＋b)2≥4ab.(　√　) (3)“x>0且y>0”是“eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2”的充要条件．(　×　) (4)函数y＝sin x＋eq \f(4,sin x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为4.(　×　) 题组二　教材改编 2．已知x>2，则x＋eq \f(1,x－2)的最小值是(　　) A．1 B．2 C．2eq \r(2) D．4 答案　D 解析　 ∵x>2， ∴x＋eq \f(1,x－2)＝x－2＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(?x－2?\f(1,x－2))＋2＝4， 当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立． 3．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，若方程f(x)＝a有实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 答案　D 解析　f(x)＝x＋eq \f(1,x)， 当x>0时，f(x)＝x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(1)＝2， 当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立． 当x<0时，f(x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?－x?＋\f(1,?－x?)))≤－2eq \r(?－x?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－x))))＝－2， 当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时，等号成立． 综上，f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 故a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 答案　25 解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为eq \f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10， ∴y＝x(10－x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋?10－x?,2)))2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， 所以ymax＝25， 即矩形场地的最大面积是25 m2. 题组三　易错自纠 5．函数y＝eq \f(x,x2＋1)(x>0)的最大值为________． 答案　eq \f(1,2) 解析　y＝eq \f(x,x2＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x))≤eq \f(1,2). 当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立． 6．函数y＝eq \f(x2,x－1)(x>1)