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知识点
矩阵的概念:
矩阵的定义:由个数排成的m行、n列的矩形数表叫做矩阵,即
,
矩阵中的每个数(,,i、jN*)叫做矩阵的元素,表示第i行第j列上的元素。矩阵通常用大写字母表示:(表示阶矩阵),可简记为A;
矩阵的意义:矩形数表;
相关概念:
行向量、列向量;
方矩阵(方阵)、方矩阵的阶;
单位矩阵、零矩阵。
矩阵的运算:
矩阵的相等:若、是两个行数与行数相等、列数与列数相等的矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,即(1,2,…,m;1,2,…,n),称两矩阵相等,记作;
矩阵的加减:当两个矩阵A、B的行数与列数分别相等时,将它们对应位置上的元素相加(相减),1,2,…,m;1,2,…,n,所得到的矩阵称为矩阵A、B的和(差),记作();
矩阵的数乘:设为任意实数,我们把矩阵的所有元素都与相乘所得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵,记作;
矩阵的乘法:设矩阵A是n行、k列的矩阵,矩阵B是k行、m列的矩阵,矩阵C是n行、m列的矩阵,如果矩阵C中第i行、第j列的元素为A的第i个行向量与B的第j个列向量的数量积(1,2,…,m;1,2,…,n),即,那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积。因此,只有A的列数与B的行数相同时,AB才有意义。
线性方程组的矩阵表示:
二元一次方程组(其中x、y是未知数,、、、是未知数的系数且不全为零,、是常数项)用矩阵表示为,其中矩阵叫做方程组的系数矩阵,叫做方程组的增广矩阵。
【例题解析】
系数矩阵为,解为的一个线性方程组是____________。
已知,,则____________,____________,____________,____________。
用矩阵变换的方法解下列线性方程组:
(1); (2)。
在行列矩阵中,记位于第行第列的数为(i,j1,2……,n)。当时,_________。
行列式初步
【知识要点】
行列式的意义:特定的算式。
二阶行列式的对角线展开:。
三阶行列式:
按对角线展开;
按一行(或一列)展开(相关概念:余子式、代数余子式);
利用行列式解线性方程组:
二元一次方程组(*)
其中x、y是未知数,、、、是未知数的系数且不全为零,、是常数项,叫做方程组(*)的系数行列式,和分别是用方程组(*)的常数项、替换行列式D中x的系数、或y的系数、后得到的。
(1)当时,方程组(*)有唯一解;
(2)当且、中至少有一个不为零时,方程组(*)无解;
(3)当时,方程组(*)有无穷多解。
三元一次方程组(**)(其中x、y、z是未知数,、、、、、、、、是未知数的系数且不全为零,、、是常数项)中,记, ,,,
(1)当时,方程组(**)有唯一解;
(2)当时,方程组(**)无解,或者有无穷多解。
三角形的面积公式:在平面直角坐标系中,设△ABC的坐标分别为、、,则△ABC的面积。
推论:设,,,则A、B、C三点共线的充要条件是。
【例题解析】
展开并化简下列二阶行列式:
(1); (2);
(3)
将下列各式用二阶行列式表示:
(1); (2)。
行列式(a、b、c、d{,1,2})所有可能的值中,最大的是____________。
在三阶行列式中,元素的余子式为____________,元素的代数余子式为____________,元素1的代数余子式的值为________。
计算下列三阶行列式:
(1); (2)。
若行列式中,元素4的代数余子式大于0,则x满足的条件是____________。
已知函数,求函数的最大值。
若矩阵满足:,,,,且,则这样的互不相等的矩阵共有_____个。
解关于x、y的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:。
【变式】解关于x、y的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:。
过关检测
1:方程组的增广矩阵为_______________.
2:若关于的二元一次方程组有唯一一组解,则实数的取值范围是_______.
3:________________;
4:________________;
5:设,行列式中第行第列的代数余子式记作,
函数的反函数图像经过点,则__________
6:函数的最小正周期_______.
7:(1)若,则_______.
(2)若,则向量和的夹角是_________.
8:已知线性方程组的增广矩阵,写出其对应的方程组:
(1)(2)
线性规划
例1: 已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题.
设变量x、y满足约束条件,则的最大值为______________
例2:已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题.
已知则的最小值是___________
例3:约束
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