专题提升卷03 立体几何中三个角求解问题（解析版）.docx

PAGE 1 高一下学期期中复习备考精准测试卷第二篇 专题提升卷 专题3 立体几何中三个角解问题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，在正方体中，与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，得出为与所成的角，即可求解. 【详解】如图，连接，，因为且，所以为平行四边形， 所以， 所以为与所成的角，因为为等边三角形，所以. 2．正四面体中，已知棱长均为1，则二面角的平面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点为点，连接，，过点作垂直与底面，因为四面体为正四面体，所以点在线段上，且，，故二面角的平面角为，在直角三角形中，所以，又因为在正四面体中， 所以， 3．如图，平面α⊥平面β，Aα，Bβ，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于（ ） A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3 【答案】A 【分析】先用性质找出α，β的垂线，再作出相关线面角，设，利用直角三角形计算可得. 【详解】由已知条件可知，设AB=2a，则BB′=2asin?=a，A′B＝2acos＝a， ∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1. 4． 已知平面α与β所成锐二面角的平面角为，P为α，β外一定点，过点P的一条直线与α和β所成的角都是，则这样的直线有且仅有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】先将题目问题转化为点与直线所成角为的直线有几条，得出满足条件的直线有4条. 【详解】如图，过作的垂线,其确定的平面与棱交于，若二面角为，与平面成角，则 ，与成角，因此问题转化为过点与直线所成角为的直线有几条. ,所以这样的直线有4条. 5．设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线l与平面所成的角是，直线l在内的射影与内的直线m所成角为，所以由最小张角定理可得，，，求直线l与直线m所成的角，即是求角，且 由题意，，所以，因此，即直线l与直线m所成的角是. 6． 在三棱锥中，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图： 由可得，所以，在，，可得，由中位线的性质可得且，且，所以或其补角即为异面直线PC与AB所成角，在中，，所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为. 7．在长方体中，，，则二面角的大小是（ ） A．30o B．45o C．60o D．90o 【答案】A 【分析】 取中点为，平面，所以即在平面上的投影，易知，再利用线面垂直证明，得到即二面角，再计算二面角大小即可. 【详解】由题意，作出长方体的图象，取中点为，连接、， 因为平面，所以即在平面上的投影，又平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，为中点，所以，又， 所以平面，又平面，所以，即二面角， 又，，所以，. 8．如图，在正三棱柱中，已知，在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接、，推导出平面，可得出直线与平面所成的角为，计算出、，即可求出. 【详解】如下图所示，取的中点，连接、， 在正三棱柱中，平面，为等边三角形，平面，，为的中点，，，平面，平面，.所以，直线与平面所成的角为，，，，，即与平面所成角的正弦值为. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9． 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A．在棱上存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为90° C．二面角的大小为45° D．平面 【答案】ABC 【详解】如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形， ，又底面是菱形，，是等边三角形，，又，，平面，平面，故正确. 对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确. 对于，∵平面平面，，平面，， 是二面角的平面角，设，则，，在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不