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专题13 概率
1、确定性现象:在一定条件下 的现象。
2、随机现象:在一定条件下 也可能 的现象。
3、概率论:是研究 的科学。
4、随机试验:对 或 统称为随机试验。
5、样本点:随机试验的 称为这个试验的一个样本点。
6、样本空间: 称为这个试验的样本空间。
7、随机事件:如果在每次试验的结果中, ,也可能不发生,则这一事件称为随机事件。
8、必然事件:某事件 ,则为必然事件。
9、不可能事件:某事件 ,则为不可能事件。
10、基本事件:有 称为基本事件。
11、任一 都是样本空间的一个 ,该子集中任一 发生,则该事件发生。
12、概率
,
如果两两互不相容,则
13、古典概型
每次试验中,所有可能发生的结果只有 ,即样本空间是有限集
每次试验中,每一个结果发生的
14、互斥事件和独立事件
(1)互斥事件:对于事件A、B,若 ,则称A、B为互斥事件。从集合的角度来认识,满足 ,进一步的,当 时,事件A、B是 事件。因此有概率加法公式: ,即 ,特别地,当A、B对立,记 ,有 。
(2)独立事件:对于事件A、B,如果 ,那么称A、B
是 事件。直观解释就是,事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响。上述定义中的公式即相互独立事件的概率乘法公式。可以证明,如果A与B ,则 也都相互独立。
从上述实例中我们会发现,互斥事件与相互独立事件有如下关系:
对事件A、B,若 ,有以下结论:若A、B相互独立,则 (否则与矛盾);若A、B ,则A、B一定不 。反之,不互斥的两个事件可能 也可能不相互 ,同样,不相互独立的两个事件可能互斥也可能不互斥。
若事件A、B至少有一个为不可能事件,即至少有一个的概率为 ,则A、B一定互斥,且一定相互独立。
同时,我们也不难归纳出对两个事件是否相互独立的两种判断方法:
经验法:根据问题的实质,从直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率,若没有影响,则可判断相互独立。
定义法:根据定义式 来判断,这是因为并不是所有的问题都是那么容易通过“直觉”判断的,比如说一个家庭中有两个小孩(假定生男、生女是等可能的),令,则,,,,
,,,由此可知,,故不相互独立。
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