2019人教B版数学必修四讲义：第2章2.32.3.1向量数量积的物理背景与定义.doc

2019人教B版数学必修四讲义：第2章2.32.3.1向量数量积的物理背景与定义 2019人教B版数学必修四讲义：第2章2.32.3.1向量数量积的物理背景与定义 PAGE / NUMPAGES 莄PAGE 蚁艿 聿膈 羇薃 袁膃 莀腿 2019人教B版数学必修四讲义：第2章2.32.3.1向量数量积的物理背景与定义 平面向量的数目积 向量数目积的物理背景与定义 向量数目积的运算律 学习目标 核心修养 1．理解平面向量数目积的含义及其物理 意义．(难点) ．经过向量的夹角、向量数目积观点的 1 2．领会平面向量的数目积与向量射影的 学习，培育学生的数学抽象核心修养． 关系．(要点)3.掌握数目积的运算性质， 2．经过向量数目积的应用，培育学生的 并会利用其性质解决相关长度、夹角、 数学运算核心修养. 垂直等问题．(要点) 1．向量的夹角 已知两个非零向量 → → 定义 a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与 b的夹角. 范围 0°≤θ≤180° θ＝0° a与b同向 特例 θ＝180° a与b反向 θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b，规定零向量可与任一直量垂直 2.向量的数目积 向量在轴上的正射影．已知向量 a和轴l，如图． -1-/11 2019-2020年人教B版数学必修四讲义：第2章向量数目积的物理背景与定义向量数目积的运算律及答案 → (1)正射影的观点：作OA＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为 O1， → A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)； (2)正射影的数目：该射影在轴 l上的坐标，称作a在轴l上的数目或在轴 l的 → 方向上的数目.OA＝a在轴l上正射影的坐标志作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ. 3．平面向量数目积的定义 |a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数目积，记作|a||b|cos〈a，b〉． 4．数目积的性质 (1)若e是单位向量，则 e·a＝a·e＝|a|cos〈a·e〉． 思虑1：向量的数目积与数乘向量的差别是什么？ [提示] 向量的数目积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量， 既有大小，又有方向，这是两者的差别． (2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，往常记作a⊥b?a·b＝0. 思虑2：a·b＝0与ab＝0的差别是什么？ [提示] (1)意义和表达方式不一样． a·b表示两个向量的数目积，中间的 “·”不可以省略，也不可以写成“×”． (2)推出的结果不一样．由 a·b＝0可推出以下四种可能 ①a＝0，b＝0，②a＝0，b≠0，③a≠0，b＝0，④a≠0，b≠0，但a⊥b.而ab ＝0可推出a与b中起码有一个为0. (3)|a|＝ a·a. a·b (4)cosθ＝|a|·|b|.(|a|·|b|≠0) (5)对随意两个向量 a，b，有|a·b|≤|a||b|.当且仅当a∥b时等号建立． -2-/11 2019-2020年人教B版数学必修四讲义：第2章向量数目积的物理背景与定义向量数目积的运算律及答案 ．已知 ＝，向量 与 的夹角为 π a b 1 |a|3 3 3 3 B. 3 2 A. 2 2 1 3 C.2 D.2 π3 [向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝3×cos3＝2.应选D.] → → 2．在△ABC中，AB＝a，BC＝b，且b·a＝0，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．没法确立 [在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．] ．如图，在△ → → →→ 3 ABC中，AC 互补 [依据向量夹角定义可知向量 →→ →→ AB，AC夹角为∠BAC，而向量CA，AB夹 角为π－∠BAC，故两者互补．] 与向量数目积相关的观点 【例1】 (1)以下四种说法中正确的选项是 ________．(填序号) ①假如a·b＝0，则a＝0或b＝0； ②假如向量a与b知足a·b0，则a与b所成的角为钝角； →→ ③△ABC中，假如AB·BC＝0，那么△ABC为直角三角形； 2 2 (2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则 a在b方向上的正射影的数目为 ________，b在a方向上的正射影的数目为 ________． →→ (3)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则BA·BC＝________. [思路研究] 依据数目积的定义、性质、运算律及投影的定义解答． -3-/11 2019-2020年人教B版数学必修四讲义：第2章向量数目积的物理背景与定义向量数目积的运算律及答案 12 (1)③④ (2)－5 －4 (3)8 [(1)由数目积的定义知 a·b＝|a||