专题讲座——三角函数高考常见题型(华师大内部讲义).docxVIP

。 三角函数高考常见题型 三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题 分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下三类： 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 例 1 已知向量 a 3 3 x , sin x [ , ] 。 (cos x,sin x), b (cos ), 且 x 2 2 2 2 2 （ 1）若 | a b | 3 ，求 x 的取值范围； （ 2）函数 f (x) a b | a b |，若对任意 x1, x2 [ , ] ，恒有 | f ( x1 ) f (x2 ) | t ,求 t 的取值范围。 2 解：（ 1） Q| a | | b | 1,a b cos2x, | a b | 2 2cos 2 x 2cos x 3 ， 即 cos x 3 [ , ], 5 。 .Q x x 2 2 6 （ 2） f ( x) a b | a b | cos2x 2cos x 2(cos x 1)2 3 。 2 2 Q 1 cos x 0, f ( x) max 3, f ( x)min 1 ，又 Q| f (x1) f ( x2 ) | f ( x) max f ( x)min 4, t 4 二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及 对称中心。 例 2 若 m ( 3 sin x,0), n (cos x, sin x), 0 ，在函数 f (x) m ( m n) t 的图象中， 对称中心到对称轴的最小距离为 ，且当 x [0, ] 时， f ( x) 的最大值为 1 。 4 3 （ 1）求函数 f (x) 的解析式； （ 2 ）若 f ( x) 1 3 , x [0, ] ，求实数 x 的值。 2 解： 由题意得 m n ( 3 sin x cos x, sin x) ， f (x) m ( m n) t ( 3 sin x,0) ( 3 sin x cos x, sin x) t 3 sin x( 3 sin x cos x) t 3sin 2 x 3 sin x cos x t -可编辑修改 - 。 3 3 x 3 sin 2 x t 3 sin(2 x 3 t 2 cos2 2 ) 2 3 2 （ 1） ∵ 对称中心到对称轴的最小距离为 ，∴ f ( x) 的最小正周期 T ， 4 2 , 1, f ( x) 3 sin(2 x ) 3 t 。 2 3 2 当 x [0, ] 时， 2x 3 [ , ], sin(2 x ) [ 3 , 3 ] ， f ( x) [t ,3 t ] 。 3 3 3 3 2 2 Q f ( x)max 1, 3 t 1,t 2, f ( x) 3 sin(2 x ) 1 。 3 2 （ 2）由 f (x) 1 3 ，得 sin(2 x ) 1 [0, ] ，得 2x 5 2 ，由 x 3 。 3 2 3 3 故 2x 或 7 , x 3 。 3 6 12 或 6 4 例 3 已知向量 a (sin , 1 ) ， b (1 , 2 cos ) ， a b 1 ， ( 0, ) 2 5 2 （ 1）求 sin 2 及 sin 的值； （ 2）设函数 f (x) 5 sin( 2 x ) 2 x ( x [ , ]) ，求 x 为何值时， f ( x) 取得最大值，最大 2 2 cos 24 2 值是多少，并求 f (x) 的单调增区间。 解：（ 1） a b sin cos 1 ， (sin cos ) 2 1 sin 2 1 ,∴ sin 2 24 , 5 25 25 (sin cos ) 2 1 sin 2 49 ，∴ sin cos 7 ,∴ cos 3 ， sin 4 . 25 5 5 5 （2 ） f ( x) 5cos(2 x ) 1 cos 2x 5(cos 2x cos sin 2xsin ) cos2 x 1 5( 3 cos2x 4 sin 2x) cos 2 x 1 4 cos2 x 4 sin 2x 1 4 2 sin(2 x ) 1 ,∵ x ， 5 5 4 24 2 ∴ 2 x 5 ,∴ 当 x 时， fmax (x) f ( ) 1 2 6 ,要使 y f ( x) 单调递增， 3 4 4 24 24 ∴ 2k 2 x 2 k , 3 k x k (k Z) ,又 x [ , ] ， ∴ y f ( x) 的单调增区间为 4 2 8 8 2 2