双曲线的简单几何性质 课件.ppt

双曲线的简单几何性质 1.双曲线的几何性质 标准方程 性 质 图形 焦点 F1(-c，0)，F2(c,0) F1(0，-c)，F2(0，c) 性 质 焦距 范围 对称性 顶点 轴 离心率 渐近线 x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(-a,0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b |F1F2|=2c 2.等轴双曲线是指_______________的双曲线. 实轴和虚轴等长 1.双曲线的焦点在实轴上还是在虚轴上？ 提示：双曲线的焦点必定在双曲线的实轴上. 2.等轴双曲线的离心率是多少？ 提示：等轴双曲线中a=b，其离心率 3.已知双曲线 它们的渐近线相同吗？ 提示：它们有相同的渐近线方程y=± 4.双曲线 =1的离心率是______. 【解析】由题知a=2,b2=2. ∴c2=a2+b2=4+2=6，∴c= ∴ 答案： 对双曲线的简单几何性质的四点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置. (2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由 双曲线的方程 =1(a＞0,b＞0),得 ∴x2≥a2,∴｜x｜≥a,即x≤-a或x≥a. (3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离 心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然. (4)对称性：由双曲线的方程 =1(a0,b0),若P(x,y)是双曲线上任意一点,则P1(-x,y),P2(x,-y)均在双曲线上,故P与P1,P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称.只不过双曲线的顶点只有两个,而椭圆有四个. 利用标准方程研究几何性质 用双曲线标准方程研究几何性质的步骤 将双曲线方程化为标准形式 判断焦点位置 求出a，b，c 写出双曲线的几何性质 【典例训练】 1.已知双曲线 =1的右焦点为 (3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) 2.双曲线 =1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别是F1,F2, 过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直 于x轴，则双曲线的离心率为( ) 3.求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标. 【解析】1.选C.由题意，知a2+5=9，解得a=2，e= 2.选B.如图，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°,F1F2=2c, 3.把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程得 由此可知，实轴长2a＝8， 虚轴长2b＝6，c＝ 焦点坐标为(0，－5)，(0,5)； 离心率e＝ 顶点坐标为(0，－4)，(0,4)； 【想一想】双曲线与椭圆的几何性质有哪些不同点？ 提示：椭圆有4个顶点，双曲线只有两个顶点；椭圆有长轴、短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1,+∞). 利用几何性质求标准方程 求双曲线标准方程的常用方法及一般步骤 (1)常用方法：一是设法确定基本量a,b,c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值． (2)根据已知条件求双曲线的标准方程的思路是“选标准，定参数”,一般步骤是: 确定焦点 所在的坐 标轴 求出a2， b2的值 写出标 准方程 【典例训练】 1.已知双曲线 =1(a＞0,b＞0)和椭 圆 =1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心 率的两倍，则双曲线的方程为________. 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为8，离心率为 (2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，实轴 长和虚轴长相等，且过点P(4，－ )． 【解析】1.由题意知双曲线的焦点为(- ,0)、( ,0)， 即c= ,又因为双曲线的离心率为 ，所以a=2,故b2=3, 双曲线的方程为 答案： 2.(1)设双曲线的标准方程为 (a0,b0),2a=8. 由题意知 且c2＝a2＋b2， ∴a=4,c=5,b=3， ∴标准方程为 (2)由2a=2b得a=b,∴e= 所以可设双曲线方程为 x2－y2＝λ(λ≠0). ∵双曲线过点P(4，－ )， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x2－y2＝6. ∴双曲线的标准方程为