坐标系与参数方程_知识点.docxVIP

精品文档 精品文档 PAGE PAGE #欢迎下载 知识点x ( 0)的作用下，点P(x,y) 知识点 x ( 0) 的作用下，点P(x,y)对 y ( 0) 一、极坐标与极坐标系 .平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换 应到点P(x , y),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ，简称伸缩变换 .极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O,叫做极点，自极点。引一条射 线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及 其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系^ 注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ；平 面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是 平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点，极点。与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为 终边的角 xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(,). 一般地，不作特殊说明时，我们认为 0,可取任意实数. 特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0, )( ￡ R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有 无数种表示. 如果规定 0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 (，)表示；同时，极坐标 (,)表示的点也是唯一确定的 .极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极 轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位 ，如图所示： （2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（，）（ 0）,于是极 坐标与直角坐标的互化公式如表 ： 点M 直角坐标（x, y） 极坐标（，） 2 2 2 x y x cos 互化公式 y y sin tan — (x 0) x 在一般，f#况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 r(0 2 ) ①工 圆心为（r,0），半径为r的圆 2r cos ( — —) 2 2 圆心为（r,—）,半径为r的圆 2 2r sin (0 ) O 工 过极点，倾斜角为 的直线 ⑴ (R)或 (R) (2) ( 0)和 (0) 过点（a,0），与极轴垂直的直线 cos a(— —) 2 2 O^0) 土 (4? 5") 过点(a,—),与极轴平行的直线 2 sin a(0 ) 注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 ，即(，),(，2 ),(, ),(, ),都表示 同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同 .所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 ，只要 求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 ，点M(—,—)可以表示为 4 4 5 (一,一 2 )或(一,一 2 )或(-一,—)等多种形式，其中，只有(一,一)的极坐标满足方程 ^ 4 4 4 4 4 4 4 4 二、参数方程 .参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x, y都是某个变数t的函数 x f(t)①，并 y g(t) 且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点 M (x, y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的 参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程. .参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普 通方程. (2)如果知道变数 x, y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与 参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中 ，必须使x, y的 y g(t) 取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当 地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 .圆的参数 如图所示，设圆。的半径为r ,点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆 O上作匀速圆周运动, 、什 … x r cos 设M (x, y),则 (为参数)。 y r sin 这就是圆心在原点 O,半径为r的圆的参数方程，其中 的几何意义是OM0转过的角度。 圆心为（a,b）,半径为r的圆的普通方程是（x a）2 （y b）2 r2, x a r cos 它的参数方程为： （为参数）。 y b r sin .椭圆的参数方程 以坐