坐标法解空间几何题常用模型.docxVIP

。 如何用坐标法解空间几何题专题 （中保高中 2017 届 1，2 班） 徐学松 2017.5 模型思考 空间几何中涉及的定义、 定理和性质比较多， 在解决综合问题时， 运用多个定义、 定理 和性质形成的综合题时，遇到多种多样的题型，每一种题型的解法又有多种 . 学习和记忆名 目繁多的题型和解法直接影响了学习立体几何的兴趣和效率 . 有没有一种比较统一的方法， 能够使得解题过程比较一致，变化不多的模型呢？使得学生解题流程固定，方法比较简单， 从而使学生解题思路流畅，正确率提高呢 . 坐标法作为一种工具，在解决立体几何问题中有 着无比的优越性．运用坐标法解题， 可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路 直观明了，模式固定，流程明了 . 模型例析 1. （线线平行） 已知 A(1 ， 0， 0) ， B(0 ，1， 0) ， C(0， 0， 2) ，求满足 DB∥ AC， DC∥ AB 的点 D 的坐标． 解模与识模 : 这道题是一道线与线平行的问题 . 可设点 D 坐标为 (x ， y， z) ， DB = ( － x， 1－ y，－ z) ， AC = ( － 1， 0，2) ， DC = ( － x，－ y， 2－ z) ， AB = ( － 1， 1， 0) ． ∵DB∥ AC，DC∥ AB，∴ DB ∥ AC ， DC ∥ AB ． x z , 1 2 x 1, 1 y 0, y 1 , ，即此时点 D的坐标为 ( － 1， 1， 2) ． 即 x y ,z 2 . 1 2 z 0. 从这道题的推理过程可以看到在建立了坐标系的情况下 , 得到各点的坐标后 , 就能得到 有关向量的坐标 , 根据向量的平行 , 利用公式建立方程组 . 这里的公式是若 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z2 , 且 x2 , y2 , z2 均不为零 , a// b x1 y1 z1 . 进而达到求解的目的 . x2 y2 z2 例 2（线线垂直） 在正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中， M是棱 DD1 的中点， O 为正方形 ABCD的中 心，求证： OA1 ⊥ AM． 解模与识模 : 直线与直线的垂直可以转化为直线的方向向量互相垂直 . 设直线 a, b 的 方 向 向 量 分 别 是 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z2 , a ⊥ b a ⊥ b x1 x2 y1 y2 z1 z2 0 . 要想利用坐标法解决这一问题首先要建立空间坐标系 . 常见 。 1 。 几何体的建系方法： 1. 找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面” （即 xOy 平面），一条为 x 轴，一条为 y 轴； 2. 找与“水平面”垂直的直线确定为 z 轴 . 通常做法：（ 1）直接找到与“水平面”垂直的直线为 z 轴； z z z O x O x O x y（ 1） y y （ 3） （ 2） z 轴； （2）找与“水平面”垂直的平面，垂面内与“水平面”交线的垂线即为 （3）过两垂线的交点直接作出“水平面”的垂线； （4）过两垂线的交点构造“水平面”的两个两个垂面，两垂面的交线为 z 轴. z O y  x （ 4） 在建系的过程中，一般的借助正方体、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等 . 如图建立右手直角坐标系 . 设正方体的棱长为 1 个单 位，则 A(1 ， 0， 0) ， A1 (1 ， 0， 1) ， z M(0， 0， 1 ) ， O( 1 ， 1 ， 0) ． D 1 C 1 A 1 B 1 2 2 2 1 ，－ 1 ， 1) ， M ∴ OA1 = DA1 － DO = ( D C 2 2 y 1 A O AM = DM － DA = ( － 1， 0， B ) ， x 2 。 2 。 ∵ OA1 · AM = 1 ×( － 1) ＋( － 1 ) × 0＋1× 1 = 0 ，∴ OA1 ⊥ AM ， 2 2 2 OA1 ⊥ AM． 3( 线面垂直 ) 如图，已知四棱锥 S—ABCD的底面 ABCD是矩形， M、N分别是 CD、SC的中点， SA⊥底面 ABCD， SA=AD=1， AB= 2 ．求证： MN⊥平面 ABN． 解模与识模 : 第（ I ）问是证明直线与平面垂直问题 , 又直线与平面垂直 的判定定理可知 , 只需要证明这条直线与平面内两条相交直线垂直就可 以了 , 转化为证明这条直线的方向向量垂直于平面内两条直线的方向向 量. 以 A 点为原点， AB为 x 轴，AD为 y 轴，AD为 z 轴的空间直角坐标系， 如图所示 . 则依题意可知相关各点的坐标分别是： （