高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第4章 4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用.DOCVIP

§4.5　 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝eq \f(2π,ω) f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π) ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点. 如下表所示. x eq \f(0－φ,ω) eq \f(\f(π,2)－φ,ω) eq \f(π－φ,ω) eq \f(\f(3π,2)－φ,ω) eq \f(2π－φ,ω) ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下： 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)作函数y＝sin(x－eq \f(π,6))在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(eq \f(π,2)，1)，(π，0)，(eq \f(3π,2)，－1)，(2π，0)这五个点. (　×　) (2)将y＝3sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋eq \f(π,4)). (　×　) (3)y＝sin(x－eq \f(π,4))的图象是由y＝sin(x＋eq \f(π,4))的图象向右移eq \f(π,2)个单位得到的. (　√　) (4)y＝sin(－2x)的递减区间是(－eq \f(3π,4)－kπ，－eq \f(π,4)－kπ)，k∈Z. (　×　) (5)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0. (　√　) (6)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq \f(T,2). (　√　) 2.把函数y＝sin(x＋eq \f(π,6))图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将图象向右平移eq \f(π,3)个单位，那么所得函数的解析式为________. 答案　y＝－cos 2x 解析　将y＝sin(x＋eq \f(π,6))图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋eq \f(π,6))；再将图象向右平移eq \f(π,3)个单位，得到函数y＝sin[2(x－eq \f(π,3))＋eq \f(π,6)]＝sin(2x－eq \f(π,2))＝－cos 2x. 3.(2013·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq \f(π,2)<φ<eq \f(π,2))的部分图象如图所 示，则ω，φ的值分别是________，________. 答案　2　－eq \f(π,3) 解析　eq \f(3,4)T＝eq \f(5π,12)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))，T＝π，∴ω＝2， ∴2×eq \f(5π,12)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴φ＝2kπ－eq \f(π,3)，k∈Z. 又φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴φ＝－eq \f(π,3). 4.设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________. 答案　6 解析　由题意可知，nT＝eq \f(π,3) (n∈N*)， ∴n·eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,3) (n∈N*)， ∴ω＝6n (n∈N*)， ∴当n＝1时，ω取得最小值6. 5.已知简谐运动f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋φ)) (|φ|<eq \f(π,2))的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为__________. 答案　6，eq \f(π,6) 解析　由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝eq \f(1,2)，又|φ|<eq \f(π,2)， 得φ＝eq \f(π,6)；而此函数的最小正周期为T＝2π÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝6. 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1　设函数f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cos ωx(ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相； (2)用五点法作出它在长度为一