高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第5章 5.3 平面向量的数量积.DOCVIP

§5.3　 平面向量的数量积 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为__0__. 两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝eq \r(a·a)； (4)cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)； (5)|a·b|≤|a||b|. 4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2). (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量. (　√　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. (　√　) (3)△ABC内有一点O，满足eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))·eq \o(OC,\s\up6(→))，则△ABC一定是等腰三角形. (　√　) (4)在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))且eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD为矩形. (　×　) (5)两个向量的夹角的范围是[0，eq \f(π,2)]. (　×　) (6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－eq \f(4,3)或λ>0. (　×　) 2.(2012·陕西改编)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ＝________. 答案　0 解析　a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ). ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝eq \f(1,2)，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. 3.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于________. 答案　30° 解析　|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos ∴|a＋2b|＝2eq \r(3)， a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cos θ ＝2×2eq \r(3)cos θ＝4eq \r(3)cos θ， 又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos ∴4eq \r(3)cos θ＝6，cos θ＝eq \f(\r(3),2)，θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°. 4.在△ABC中，eq \f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝1，eq \f(\o(BC,\s\up6(→))·\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)＝2，则AB边的长度为________. 答案　3 解析　设△ABC各边分别为a，b，c，则eq \f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝b·cos A＝1， 同理，eq \f(\o(BC,\s\up6(→))·\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)＝a·