高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第2章 2.4　二次函数与幂函数.DOCVIP

§2.4　 二次函数与幂函数 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 单调性 在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减； 在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增 在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增； 在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－eq \f(b,2a)对称 2.幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数的图象比较 (3)幂函数的性质比较 特征 函 数 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝xeq \f(1,2) y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a). (　×　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数. (　×　) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0). (　×　) (4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数. (　×　) (5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±eq \f(\r(2),2). (　×　) (6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2. (　×　) 2.(2013·重庆改编)eq \r(?3－a??a＋6?)(－6≤a≤3)的最大值为________. 答案　eq \f(9,2) 解析　因为eq \r(?3－a??a＋6?)＝eq \r(18－3a－a2) ＝ eq \r(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,2)))2＋\f(81,4))， 所以当a＝－eq \f(3,2)时，eq \r(?3－a??a＋6?)的值最大，最大值为eq \f(9,2). 3.已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的值域为[1，＋∞)，则a的值为________ 答案　－1或3 解析　由题意知最小值为2a＋4－a2＝1. 由2a＋4－a2＝1，解得a 4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________. 答案　[1,2] 解析　y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1. 当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数. ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m ∴m＝1，无解. 当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2， ymax＝f(0)＝3. 当m>2时，ymax＝f(m)＝m2－2m ∴m＝0或m＝2，无解.∴1≤m≤2. 5.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________ 答案　1或2 解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－3m＋3＝1,m2－m－2≤0))，解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合. 题型一　二次函数的图象和性质 例1　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]. (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间. 思维启迪　对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段