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第2讲 数列的性质与求和
[做真题]
1.(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则eq \f(S10,S5)=________.
解析:设等差数列{an}的公差为d,由a2=3a1,即a1+d=3a1,得d=2a1,
所以eq \f(S10,S5)=eq \f(10a1+\f(10×9,2)d,5a1+\f(5×4,2)d)=eq \f(10a1+\f(10×9,2)×2a1,5a1+\f(5×4,2)×2a1)=eq \f(100,25)=4.
答案:4
2.(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n+1)))的前n项和.
解:(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2,所以an=eq \f(2,2n-1)(n≥2).
又由题设可得a1=2,
从而{an}的通项公式为an=eq \f(2,2n-1)(n∈N*).
(2)记{eq \f(an,2n+1)}的前n项和为Sn.
由(1)知eq \f(an,2n+1)=eq \f(2,(2n+1)(2n-1))=eq \f(1,2n-1)-eq \f(1,2n+1).
则Sn=eq \f(1,1)-eq \f(1,3)+eq \f(1,3)-eq \f(1,5)+…+eq \f(1,2n-1)-eq \f(1,2n+1)=eq \f(2n,2n+1).
[明考情]
1.高考对数列性质的考查主要以选择、填空题的形式出现,考查数列的周期性、单调性、数列最值等,难度中等.
2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的前n项和,难度中等偏下.
数列的性质(综合型)
[典型例题]
(1)已知数列{an}满足:an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=1,a2=2,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 020=( )
A.3 B.2
C.1 D.0
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=eq \f(3,2),an+2an+1=0,则Sn-eq \f(1,Sn)的最大值与最小值的积为____________.
【解析】 (1)因为an+1=an-an-1,a1=1,a2=2,所以a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,…,故数列{an}是周期为6的周期数列,且每连续6项的和为0,故S2 020=336×0+a2 017+a2 018+a2 019+a2 020=a1+a2+a3+a4=3.
(2)因为an+2an+1=0,所以eq \f(an+1,an)=-eq \f(1,2),所以等比数列{an}的公比为-eq \f(1,2),因为a1=eq \f(3,2),所以Sn=eq \f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))\s\up12(n))),1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2))))=1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))eq \s\up12(n).
①当n为奇数时,Sn=1+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n),Sn随着n的增大而减小,则1<Sn≤S1=eq \f(3,2),故0<Sn-eq \f(1,Sn)≤eq \f(5,6);
②当n为偶数时,Sn=1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n),Sn随着n的增大而增大,则eq \f(3,4)=S2≤Sn<1,故-eq \f(7,12)≤Sn-eq \f(1,Sn)<0.
综上,Sn-eq \f(1,Sn)的最大值与最小值分别为eq \f(5,6),-eq \f(7,12).
故Sn-eq \f(1,Sn)的最大值与最小值的积为eq \f(5,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(7,12)))=-eq \f(35,72).
【答案】 (1)A (2)-eq \f(35,72)
eq \a\vs4\al()
判断数列的增减性的方法
函数法:构造函数,通过判断所构造函数的增减性,即可得出相应数列的增减性.
定义法:利用增减数列的定义
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