2022版高考人教版数学一轮学案：第十章第二讲　排列与组合（理）含解析.docVIP

第二讲　排列与组合(理) 知识梳理·双基自测 eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理) 知识点一　排列与排列数 (1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__Aeq \o\al(m,n)__表示． (3)排列数公式：Aeq \o\al(m,n)＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq \o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,?n－m?！)，这里规定0！＝__1__． 知识点二　组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__Ceq \o\al(m,n)__表示． (3)组合数的计算公式：Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq \f(n！,m！?n－m?！)＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，这里规定Ceq \o\al(0,n)＝__1__． (4)组合数的性质：①Ceq \o\al(m,n)＝__Ceq \o\al(n－m,n)__；②Ceq \o\al(m,n＋1)＝__Ceq \o\al(m,n)__＋__Ceq \o\al(m－1,n)__． 注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意Aeq \o\al(m,n)、Ceq \o\al(m,n)中的隐含条件m≤n，且m，n∈N＋． eq \x(归)eq \x(纳)eq \x(拓)eq \x(展) 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测) 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　×　) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！．(　√　) (5)若组合式Ceq \o\al(x,n)＝Ceq \o\al(m,n)，则x＝m成立．(　×　) (6)kCeq \o\al(k,n)＝nCeq \o\al(k－1,n－1)．(　√　) 题组二　走进教材 2．(P27A组T716)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　D A．144 B．120 C．72 D．24 [解析]　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq \o\al(3,4)＝4×3×2＝24． 题组三　走向高考 3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　D　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 [解析]　4项工作分成3组，可得：Ceq \o\al(2,4)＝6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×Aeq \o\al(3,3)＝36种，故选D． 4．(2018·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成__1_260__个没有重复数字的四位数．(用数字作答) [解析]　从1,3,5,7,9中任取2个数字有Ceq \o\al(2,5)种方法， 从2,4,6,0中任取2个数字不含0时，有Ceq \o\al(2,3)种方法， 可以组成Ceq \o\al(2,5)·Ceq \o\al(2,3)·Aeq \o\al(4,4)＝720个没有重复数字的四位数； 含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有Ceq \o\al(1,3)·Ceq \o\al(1,3)·Ceq \o\al(2,5)·Aeq \o\al(3,3)＝540， 故一共可以组成