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§6.1 数列的概念及简单表示法
1.数列的定义
按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an+1____an
其中n∈N*
递减数列
an+1____an
常数列
an+1=an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M,使|an|≤M
摆动数列
从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
5.已知数列{an}的前n项和Sn,则an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1( S1 ?n=1?,Sn-Sn-1 ?n≥2?)).
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达. ( × )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( √ )
(3)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是an=eq \f(1+?-1?n+1,2). ( × )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn. ( √ )
(5)在数列{an}中,对于任意正整数m,n,am+n=amn+1,若a1=1,则a2=2. ( √ )
(6)若已知数列{an}的递推公式为an+1=eq \f(1,2an-1),且a2=1,则可以写出数列{an}的任何一项.
( √ )
2.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为________.
答案 15
解析 ∵Sn=n2,∴a1=S1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
∴an=2n-1,∴a8=2×8-1=15.
3.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10等于________.
答案 1
解析 ∵Sn+Sm=Sn+m,a1=1,∴S1=1.
可令m=1,得Sn+1=Sn+1,∴Sn+1-Sn=1.
即当n≥1时,an+1=1,∴a10=1.
4.(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=eq \f(2,3)an+eq \f(1,3),则{an}的通项公式是an=________.
答案 (-2)n-1
解析 当n=1时,a1=1;当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=eq \f(2,3)an-eq \f(2,3)an-1,
故eq \f(an,an-1)=-2,故an=(-2)n-1.
当n=1时,也符合an=(-2)n-1.
综上,an=(-2)n-1.
5.(2013·安徽)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,
Bn…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形
AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an,若a1=1,a2=2,则数
列{an}的通项公式是________.
答案 an=eq \r(3n-2)
解析 由已知
=
即S△OBnAn+
=2
由相似三角形面积比是相似比的平方知OAeq \o\al(2,n)+OAeq \o\al(2,n+2)=2OAeq \o\al(2,n+1),即aeq \o\al(2,n)+aeq \o\al(2,n+2)=2aeq \o\al(2,n+1),
因此{aeq \o\al(2,n)}为等差数列且aeq \o\al(2,n)=aeq \o\al(2,1)+3(n-1)=3n-2,
故an=eq \r(3n-2).
题型一 由数列的前几项求数列的通项
例1 写出下面各数列的一个通项公式:
(1)3,5,7,9,…;
(2)eq \f(1,2),eq \f(3,4),eq \f(7,8),eq \f(15,16),eq \f(31,32),…;
(3)-1,eq \f(3,2),-eq \f(1,3),eq \f(3,4),-eq \f(1,5),eq \f(3,6),…;
(4)3,33,333,3 333,….
思维启迪 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项数之间的关系,项与前后项之间的关系.
解 (1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1.
(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以an=eq \f(2n-1,2n).
(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值
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