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一元积分学的概念与计算 一、考试内容 原函数、不定积分、定积分、反常积分的概念 基本积分公式 牛一莱(N 一 L)公式 积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式、简单无理函数的积分 定积分的对称奇偶性 分段函数的积分 积分变限函数 (一) 原函数存在与可积条件 x ［a,b］上的连续函数f(x)必有原函数F(x)=：i f(t)dt C,x ［a,b］，且在［a,b］上可积; (a,b)内的连续函数f(x)必有原函数F(x)，但在(a,b)内不一定可积，如 a或b为暇点; 无界区间内的连续函数 f (x)必有原函数F (x)，但在无界区间内不一定可积； 定义在区间I内的函数f (x)，若存在第一类间断点或暇点，必无原函数，但也许可积， 如定义在［a,b］上的函数f (x)存在有限个第一类间断点，则在 ［a,b］上可积. (二) 微积分基本关系 dF (x) = f (x)dx：= f(x)dx 二F(x) C， d f (x)dx 二 f (x)dx, df(x)二 f(x) C, x b b f (x)在［a,b］上连续，则 f(x)dx 二 f(t)dt C, f(x)dx=［ f(x)dx］：, \ L a a  J(cscx — cot x)dx =In cscx-cotx +In cscx+C, J(tanx+cotx)dx = In tan x+C ; (四)重要函数的不定积分术 2 px q 」 px q 」 px qx r」 1 —2 dx, dx, 3 3 dx, - dx 用拆、凑, ax2 bx c . ax2 bx c x3 a3 x(ax b) (五)基本函数的定积分与反常积分 二、典型例题 1、计算下列不定积分(拆、凑结合) 3x-1 丈_3 {(三-2x-£)+2f」(x-1) 、x2 —2x —3 2 * x -'2x -'3 .(x-d) —2(3) x(3x5 4) dx dx5 (5) (6) (7) (8) =3 x? _2x—3 2ln(x—1 、x2 —2x—3) C. 6 x_ 3 4x〃x」 1 dx5 5 x5(3x5 4) 一20「x5 1 x4 1 , Ex dx- 1 -x2 x4 x2 1 x6 5 3 4x^ 20 In 4x'科 +C. 3x5 4 ln 20 3x5 +4 dx dx3 d(x{) 2 (x 1)2 x -c. 2)2 2 (x- 1 3 1 x d(x」) x 、2 arctan 4 、2 sin3 x cos2 xdx = -(1 - cos2 . 4 1 —cos2x sin xdx =( 1 3 =arcta n x arcta n x C . 3 1)2 G2)2 x x)cos2 xd cos X = 1 cos5 X -1 cos 5 3 1 (1 - 2cos2x4 1 1 sin 2x sin 4x C . 4 32 )2dx 1 cos4x )dx ・3sin x 5cos x dx = tan xsec xdx = tan xd tanx (sec2x-1)secxdsecx」sec4x」sec2 4 2 cos2 x -1 d cosx = u ::cos x tan4 4 x C. 5cos x dx (u： -u _5)du . (9) . 4 sin xcos x sin xdx 2cos x d cosx dx J 4~ J ~ cos x sin : d cosx u zcosx 或 2 4 (1「cos x)cos du dx （10） 2 2 - sin x 2cos x 例2、计算下列不定积分（换） dx x±6 （1） ‘ jx+Vx最小公倍代换 2\ 4 (1 - u )u d tan x 1 —2 arcta n tan x 2 、2 1 3 =secx sec x In 3 「(1-u4)+u4d 2 厂 du . (1-u2)u4 tan x .2 C. cscx —cotx + C t3 6=dtm 1)dt「 dt = 2t3 _3t2 +6t _ln t +1| +C =2x2 _3x + 6x6 —In x6 +1 +C . dx x -1 (x2 -1) (2) 2 4 3 (x 1)2(x -1)4 x 1 dx (3) dx = x：：：J F gstdt=sint+C = b+c 1 「(％•) x Cjcostdt — sint+C=K 仁(0,2) (5) dx 占+C. x ；1_t2 1 C x 2 _1 C 寸1,2 C「xx 1 2dt 2 !t2 TT 1 t2 2 J dt = ln t2 -1 | 例3、计算下列不定积分(