第八章立体几何§8.DOCVIP

8.2　空间几何体的表面积与体积 2014高考会这样考　1.与三视图相结合，考查几何体的表面积、体积；2.作为解答题中的某一问，与空间线面关系相结合考查几何体体积的计算． 复习备考要这样做　1.熟记公式，理解公式的意义；2.结合几何体的结构特征，运用公式解决一些计算问题． 1． 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)πr2eq \r(l2－r2) 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h＝eq \f(1,3)π(req \o\al(2,1)＋req \o\al(2,2)＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝eq \f(1,2)Ch′ V＝eq \f(1,3)Sh 正棱台 S侧＝eq \f(1,2)(C＋C′)h′ V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h 球 S球面＝4πR2 V＝eq \f(4,3)πR3 2 .几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． [难点正本　疑点清源] 1． 几何体的侧面积和全面积 几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小． 2． 等积法 等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． 1． 圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________． 答案　4πS 解析　设圆柱的底面半径为r，则r＝eq \r(\f(S,π))， 又侧面展开图为正方形，∴圆柱的高h＝2eq \r(πS)， ∴S圆柱侧＝4πS. 2． 设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m3. 答案　4 解析　这个空间几何体是一个三棱锥，这个三棱锥的高为2，底面是一个一条边长为4、这条边上的高为3的等腰三角形，故其体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×3×2＝4. 3． 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 答案　2 解析　设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.则eq \f(1,2)πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圆锥的底面直径为2. 4． 一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a，则球的表面积为________． 答案　πa2 解析　由题意知，球的半径R＝eq \f(a,2). 所以S球＝4πR2＝πa2. 5. 如图所示，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1 一点，且PB1＝eq \f(1,4)A1B1，则多面体P—BB1C1C的体积为________． 答案　eq \f(16,3) 解析　∵四棱锥P—BB1C1C的底面积为16，高 ∴VP—BB1C1C＝eq \f(1,3)×16×1＝eq \f(16,3). 题型一　空间几何体的表面积 例1　一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 (　　) A．48 B．32＋8eq \r(17) C．48＋8eq \r(17) D．80 思维启迪：先通过三视图确定空间几何体的结构特征，然后再求表面积． 答案　C 解析　由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为eq \r(42＋12)＝eq \r(17).所以S表＝42＋2×4＋eq \f(1,2)×(2＋4)×4×2＋4×eq \r(17)×2＝48＋8eq \r(17). 探究提高　(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的