三角函数与解三角形.doc

三角函数与解三角形 考法分析： 1.大题考查以三角形中的三角恒等变换，仅限于和差公式与倍角公式，半角公式与和差化积公式不考，第一问求三角形中的相关元素，第二问结合正弦定理、余弦定理及面积公式求面积或最值，范围。 2.小题考三角函数的图像与性质及图像变换。 1.设ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sinA+sinB=[cosA-cos(π-B)]?sinC. （1）ΔABC的形状，并说明理由； （2）若a+b+c=1+ eq \r(2) ,试求ΔABC面积的最大值. 解析：（1）思路一：∵ sinA+sinB=(cosA+cosB)sinC 由正余弦定理得：a+b=( eq \f(b2+c2-a2,2bc) + eq \f(c2+a2-b2,2ac) )?c 化简整理得：（a+b）(a2+b2)=(a+b)c ∵ a+b>0,∴ a2+b2=c2,故ΔABC是直角三角形，且∠C=90o. 思路二：由已知sinA+sinB=[cosA-cos(π-B)]?sinC. 得sinA+sinB=(cosA+cosB)sinC=cosAsinC+cosBsinC, ∴ sin(B+C)+sin(A+C)=cosAsinC+cosBsinC展开整理得：（sinA+sinB）cosC=0; ∵ 0<A,B,C<π ,∴ sinA+sinB>0,∴ cosC=0,∴ C=90o ，Δ ABC为直角三角形。 小结：处理三角形中的边角混合关系通常可考虑两种方向，化边与化角。化边的关系可用：sinA= eq \f(a,2R) ,sinB= eq \f(b,2R) ,sinC= eq \f(c,2R) ,或用余弦定理cosA= eq \f(b2+c2-a2,2bc) 等将cosA,cosB,cosC用边的表达式代替，从而转化成代数运算，如思路一；化角的关系可用：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,去代替等式中的a,b,c,从而转化成三角运算，如思路二。具体如何选择，视题目本身需要灵活选择。 （2）由a+b+c=1+ eq \r(2) 得：1+ eq \r(2) =a+b+ eq \r(a2+b2) ≥ 2 eq \r(ab) + eq \r(2ab) ,当且仅当a=b时取“＝”号，∴ ab≤ eq \f(1,2) ,∴ SΔABC= eq \f(1,2) ab≤ eq \f(1,4) ,∴ ΔABC面积的最大值为 eq \f(1,4) . 2. 已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC （Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）若f（x）＝，求f（B）的取值范围． 解析：（1）因为 由正弦定理有 即有. 由余弦定理得， （2）由题，， 且在锐角中，，，， 的取值范围是。 3. 已知锐角三角形ABC中，边为方程的两根，角A、B满足。 （Ⅰ）求角C与边c ； （Ⅱ）求的面积。 解析：（1） ∵ ∴ 由于△ABC为锐角三角形，∴Ｃ＝ ，得x1=, x2=. 由余弦定理，得 , ∴. （Ⅱ）Ｓ△ABC＝. 4.中，角的对边分别为，且． （1）判断的形状； （2）设向量，，且，，求． 解析：（1）由题，故， 由正弦定理，即． 又，故， 因，故． 即，故为直角三角形． （2）由于，所以 ① 且，即 ② 联立①②解得，故在直角中，．．．．．．．12分 5.已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求在上的值域． 解：（1） 故函数的最小正周期 令，得 故的单调递减区间为． （2）当，知，故． 所以在上的值域是． 小结：本题综合考查三角恒等变换知识，考查学生对三角公式（诱导公式，倍角公式，降幂公式，化一公式等）的熟练把握与运用，以及三角函数的值域的求法（结合角度的范围与基本三角函数的图像与性质求解）。