2016年镇海中学高一数学奥林匹克选拔测试一(含答案).docVIP

检测范围 检测范围：初中及高中必修一、四、五 数学奥林匹克选拔检测一 [ MATHEMATICS ] （本卷满分：200分 考试时间：150分钟） （高一试卷） 第一部分（共2小题，每题25分，计50分） 1设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何的x∈R均有以及．求证：是周期函数． 2如图，线段AB、CD是⊙O中长度不相等的两条弦，AB与CD的交点为E，⊙I内切⊙O于点F，且分别与弦AB、CD相切于点G、H．过点O的直线l分别交AB、CD于点P、Q，使得EP=EQ．直线EF与直线l交于点M，求证：过点M且与AB平行的直线是⊙O的切线． 第二部分（共2大题，计150分） 一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）． 1.已知函数则函数在上的图像总长为 ． 2.已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为 ． 3.方程的所有整数解的个数为 ． 4.设函数，其中，．若存在常数T，使对，有，则的最小值为 ． 5.设，且，，则的值为 ． 6.已知整数，使得和均为整数，则的值为 ． 7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若角A，B，C的大小成等比数列，且，则角B的弧度数为 ． 8.已知正实数使得对于满足的任何实数x、y、z成立不等式：，则的最大值为 ． 9.已知数列共有9项，其中，且对每个，均有，则这样的数列的个数为 ． 10.如图，⊙O1与⊙O2外切于D，等腰 Rt?ACB 内接于⊙O1，切点D在半圆AB上．过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP，M、N、P分别为切点．则的值为 ． 11.记集合，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2015个数是 ． 12.已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则的最大值为 ． 13.若2017次方程．有2017个正实根，那么对于所有可能的方程，的最大值为 ． 14.如果关于x的方程有正整数解，那么正整数k的所有可能取值之和为 ． 15.将块1×2或2×1的多米诺骨牌无重叠地放置于2n×2n的方格表上，使得每个2×2的子方格表内至少存在两格没被覆盖，且该两格在同行或同列，则所有满足要求的方法数为 ． 三、解答题（本大题分3小题，共60分）． 1.(本题满分20分)设，满足，． 求证：． 2.(本题满分20分)已知数列满足，，． = 1 \* GB2 ⑴ 证明：是正整数数列； = 2 \* GB2 ⑵ 是否存在，使得，并说明理由． 3.(本题满分20分)将3×3方格表中任意角上的2×2小方格表挖去，剩下的图形称为“角形”(如图1就是一个角形)，现在10×10方格表(图2)中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合．求正整数k的最大值，使得无论以何种方式放置了k个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角形． 图 图1 图 图2 2016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测一 参考答案 [ MATHEMATICS Examination paper reference answer] （本卷满分： 200 分） 第一部分（共2小题，每题25分，计50分） = 1 \* ROMAN I. 证明 对变形得： ． 使用叠代，连续使用x=x+六次，可得： (1) 再使用叠代，连续使用x=x+五次，得到下列式子： (2) (3) (4)… (5)… (6)． 把这6个式子加起来，中间得项都抵消了，只剩首尾得项，得： f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1)?．(10分) 假设f(x)=a，f(x+1)-f(x)=b，则： f(x+1)-a=b f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x)=b … f(x+n)-f(x+n-1)=b 上式全加起来得：f(x+n)-a=n×bf(x+n)=a+n×b．(15分) 假设b不等于0，则n足够大的时候一定可以使|a+n×b|1， 与题设矛盾，所以b=0．(20分) 所以f(x+1)=f(x)，周期是1．(25分) = 2 \* ROMAN II. 证明 1 证明 1 图1 ………… 图1 …………(15分) 2 2 …………(25分) …………(25分) 图2 …………(20分) 第二部分（共2大题，计150分） 一、填空题（共15小题，每题6分，计90