2021年中考数学复习讲义：第十章 相似形 模型（四十一）——射影定理模型.docxVIP

第十章.相似形 模型（四十一）——射影定理模型 模型讲解 模型讲解 【结论】如图，∠ACB＝90o，CD⊥AB，则： 口诀 公共边2＝共线边乘积 口诀 找一找： 典例秒杀 典例秒杀 典例1 ☆☆☆☆☆ 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高. 若 AC=6，AB=9，则 AD＝______ 若 AC=4，BD=6，则 CD＝______ 若 AC=5，CD=4，则 BC＝______ 【答案】⑴ 4 ⑵ 22 ⑶20 【解析】⑴在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高 由射影定理得 AC2=AD·AB. ∵AC=6,AB=9,∴36=9AD,∴AD=4. ⑵∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高， ∴由射影定理得 AC2=AD·AB， ∴42=AD·(AD+6),解得 AD=2（负值舍去）. ∴CD＝AC2－AD2＝4 ⑶∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高 . 由射影定理得 AC2=AD·AB. ∵在 Rt△ACD中，AC=5，CD=4， ∴AD=3. ∴AB ＝253，∵12 AC·BC＝ 12AB·DC, 典例2 ☆☆☆☆☆ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=9，则CD的长是( ) A.365 B.6 C.94 【答案】B 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB，AD=4，BD=9 ∴由射影定理得 CD2＝BD·AD＝9×4＝36， ∴CD＝6 或 CD＝-6（负值舍去）. 故选 B. 典例3 ☆☆☆☆☆ 如图，正方形 ABCD中，E，F分别为 BC，CD上的点，且 AE⊥BF，垂足为点 G.（1）求证∶AE=BF. （2）若 BE=3，AG=2，求正方形的边长. 【解析】（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC,∠ABC＝∠C＝90°,∴∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵AE⊥BF，垂足为点 G，∴∠CBF＋∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF. 在△ABE 与△BCF 中， ∠BAE＝∠CBF, AB＝BC, ∠ABE＝∠C＝90°, ∴△ABE≌△BCF（ASA）.∴AE＝BF. ⑵∵∠ABC＝90°，AE⊥BF， ∴∠BGE＝∠ABE＝90° ∵∠BEG＝∠AEB, ∴△BGE∽△ABE，∴BEAE＝EGBE ，即 BE2＝EG 设 EG＝x，则 AE＝AG＋EG＝2＋x. ∴32＝x·(2＋x),解得 x?＝1，x?＝﹣3 ∴AE＝3, ∴AB＝AE2－BE2＝32 ∴正方形的边长为6. 小试牛刀 小试牛刀 （★★☆☆☆）已知 CD是 Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是（ ） A.BC2＝BD·AB B.CD2＝BD·AD C.AC2＝AD·AB D.BC·AD＝AC·BD 2.（★★☆☆☆）如图，在 Rt△ABC中，ACB=90°，CD⊥AB于点D.若 AC=43，AD＝6，则 AB 的长为（ ） A.10 B.103 C.8 D.83 3.（★★☆☆☆）如图所示，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点 D.若 AD＝8，BD＝2，则 CD的长为________. 直击中考 直击中考 1.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于点D， AD＝2，BD＝6，则边AC的长为_______. 2.如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则 AD＝____. 在中考考试中.有关相似形性质的考查，经常出现在选择或者填空题中，也会结合圆出综合题，在圆中运用射影定理求线段的相关长度 .考查范围非常广，如果对射影定理很熟悉，那么 会对提高解题速度有很大帮助. 第十一章.相似形 模型（四十一）——射影定理模型 答案： 小试牛刀 答案D 解析 ∵在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴由射影定理得 BC2＝BD·AB，CD2＝ BD·AD,AC2＝AD·AB, ∴选项 A，B，C均正确，D错误. 故选 D. 答案C 解析 ∵