2021年中考数学复习讲义：第七章 平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型.docxVIP

第七章.平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型 模型讲解 模型讲解 【结论1】如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC， 则①BC+AB=2BD，②S四边形ABCD=12BD2， 【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转相等边的夹角 ⑴ ⑵ S四边形ABCD= S△ABD ＋S△BCD＝S△CED＋ 由⑴得，BD=DE，∴ S四边形ABCD＝12BD·DE＝1 ⑶ 由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45o，∴BD是角平分线 【结论2】如图，∠ABC=60o，∠ADC=120°，AD=DC， 则①BC+AB=3BD，②S四边形ABCD=34BD2， 【证明】⑴ ⑵ 由⑴得DM= 12BD，BE=3 S四边形ABCD＝S△ABD ＋S△BCD＝S△ ＝12·3BD· 12BD＝3 ⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120o，∴∠B＝∠E＝30o， ∴BD是角平分线 图形如果是这样，结论会稍有不同 【结论】∠AOB=120o，∠DCE＝60o，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上， 则①OD+OE=OC，②S四边形ABCD=34BD2， ③ 【结论3】如图，∠ABC=α，∠ADC=180o－α，AD=DC， 则①BC+AB=2BDcos12α，②S四边形ABCD=34 【证明】 小试牛刀 小试牛刀 1.（★★★★☆）我们规定∶一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”. ⑴在①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形中，一定为“完美四边形”的是____________（请填序号）. ⑵在“完美四边形”ABCD中，AB=AD，∠B＋∠D=180°，连接AC. ①如图1，求证∶CA 平分∠BCD. 小明通过观察、试验，提出以下两种想法证明 CA 平分∠BCD， 想法一∶通过∠B+∠D=180°，可延长 CB到E，使 BE=CD， 通过证明△AEB≌△ACD，从而可证 CA 平分∠BCD; 想法二∶通过 AB=AD，可将△ACD 绕点 A 顺时针旋转，使 AD与AB 重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证 CA 平分∠BCD. 请你参考上面的想法，帮助小明证明 CA 平分∠BCD. ②如图 2，当∠BAD=90°时，用等式表示线段 AC，BC，CD 之间的数量关系，并证明. 直击中考 直击中考 1.如图，四边形ABCD中，已知AB= AD，∠BAD=60°，∠BCD= 120°，若四边 形ABCD 的面积为 43，则AC=________. 对角互补，邻边相等是经典的一类旋转模型 ．相等邻边的夹角可以是60°，可以是90°，处理这种模型的关键在于旋转 ，旋转的角度的大小是相等邻边的夹角 平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型 答案： 小试牛刀 解析 由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”，故一定为“完美 四边形”的是④. （2）①想法一∶延长 CB到E，使BE=CD，连接 AE，如图. ∵ ∠ADC+∠ABC=180°,∠ABE+∠ABC= 180°,∴∠ADC=∠ABE. 又∵AD=AB，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴∠ACD=∠AEB,AC=AE, ∴∠ACB=∠AEB,∴∠ACD=∠ACB,即 CA平分∠BCD（证明方法不唯一）. ②BC+CD=2AC.证明如下∶ 延长 CB到E，使 BE=CD，连接 AE，如图. 同①可得△ADC≌△ABE， 则CD=BE，AC=AE，∠DAC=∠BAE，故△ACE为等腰三角形. ∵∠BAD=90°,∴∠EAC=90°, ∴CE2=AC2+AE2=2AC2， ∴CE=2AC,∴BC+CD=2AC. 直击中考 答案 4 解析 由对角互补模型的知，S四边形ABCD＝34AC2 ＝43,