第三章微分中值定理与导数应用教案教学设计.docx

XX X X XX X X 第三章微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理 教学目的： 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点： 罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点： 罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1.罗尔定理 几何意义：对于在［a,b］上每一点都有不垂直于 X轴的切线，且两端点的连线与 X轴平 行的不间断的曲线 f(X)来说，至少存在一点 C,使得其切线平行于 X轴。 A A 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点， 由此得到启发证明罗尔定理。 为应用方便，先介绍费马( Fermat)引理 费马引理 设函数f(x)在点 x的某邻域u(x0)内有定义 并且在 x处可导 如果对任 意 X U(Xo)有 f(x) f(Xo)(或 f(x) f(Xo))那么 f'(Xo) 0 证明：不妨设X U(Xd)时，f(X) f (Xo)(若f(x) f(Xo)，可以类似地证明) 于是对于Xo X U(Xo),有f(Xo X) f (Xo),从而当X o时, f(Xo X) f(X f(Xo X) f(Xo) o；而当 X O 时 f(Xo X)f(Xo) o; 根据函数f(x)在X。处可导及极限的保号性的得 f(Xo)f'(X f(Xo) f'(Xo) f' (Xo) if x 0 x) f(Xo) X 所以f'(xo) 0,证毕? 定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点)? 罗尔定理 如果函数f(x)满足：(1)在闭区间［a,b］上连续 (2)在开区间(a,b)内可 导(3)在区间端点处的函数值相等， 即f⑻ f(b)那么在(a,b)内至少在一点 (a b) 使得函数f(x)在该点的导数等于零，即 f'( ) 0 证明：由于f(x)在［a,b］上连续，因此必有最大值 M和最小值m，于是有两种可能的 情形： M m,此时f(x)在［a,b］上必然取相同的数值 M，即f(x) M. 由此得f (x) 0.因此，任取 (a,b)，有f ( ) 0. M m，由于f(a) f(b)，所以M和m至少与一个不等于 f (x)在区间［a,b］端点处 的函数值.不妨设M f(a)(若m f(a),可类似证明),则必定在(a,b)有一点 使f( ) M.因 此任取x ［a,b］有f(x) f(),从而由费马引理有 f ( ) 0.证毕 例1验证罗尔定理对f (x) x2 2x 3在区间［1,3］上的正确性 2 解 显然f(x) x 2x 3 (x 3)(x 1)在［1,3］上连续，在 (1,3)上可导，且 f( 1) f(3) 0,又 f (x) 2(x 1),取 1, (1 ( 1,3)),有 f ( ) 0. 说明：1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 ，其结论可能不成立； TOC \o "1-5" \h \z 2使得定理成立的 可能多于一个，也可能只有一个 . 例如y x,x ［ 2,2］在［221上除f (0)不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但 在区间［2,2］内找不到一点能使 f (x) 0. 例如y 1 X,X (0,1］除了 x 0点不连续外，在［0,1］上满足罗尔定理的一切条 0, x 0 件，但在区间［0,1］上不存在使得 f ( ) 0的点 例如y x, x ［0,1］.除了 f(0) f (I)外，在［0,1］上满足罗尔定理的一切条件， 但在 区间［0,1］上不存在使得f() 0的点 3 c 又例如y cosx, x ［,］满足定理的一切条件，而 0, 2 2 2.罗尔定理的应用 罗尔定理1 )可用于讨论方程只有一个根； 2)可用于证明等式. 例2证明方程x5 5x 1 0有且仅有一个小于1的正实根. 证明：设 f(x) x5 5x 1,则 f (x)在［0,1］上连续，且 f(0) 1, f (1) 3. 由介值定理存在 x0 (0,1)使f(x0) 0,即&为方程的小于1的正实根. 设另有 论 (0,1),/ x0,使f(x,) 0?因为f(x)在X°,X1之间满足罗尔定理 的条件，所以至少存在一个 (在x0,x1之间)使得f ( ) 0. 但f (x) 5(x4 1) 0, (x (0,1)),矛盾,所以x?为方程的唯一实根. 拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子(见后面) 二、拉格朗日(Lagrange )中值定理 1.拉格朗日中值定理 在实际应用中，由于罗尔定理的条件( 3)有时不能满足，使得其应用受到一定限制。 如果将条件(3)去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f (x)满足(1)在闭区间［a,b］上连续(2)在开区间(a,b) 内可导那么在(a,b)内至少有一点