(完整word版)[小学奥数专题15】8-5-1操作与策略.题库教师版.doc

第十四讲：操作与策略 且!!11匡教学目示 1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律 2. 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案 3. 让孩子掌握各种趣题的不同思考方式. 目側!匸知识点拨 实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力， 激发学生探索数学规律的兴趣， 并 通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。 例题精讲 模块一、制胜策略 【例1】(圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以 13,删去乘积的末位数，将所得的数再乘以 7,再删去乘积的末位数，最终得到的数为 21.问：尤拉最初所想的是哪一个数？ 【解析】 解法一：(从分析结果入手)在第二次删去末位数之前， 尤拉面临的是一个三位数， 其值在210至219 之间.在这些数中，只有两个数是 7的倍数：210 7 30和217 7 31 .这就意味着在乘以 7 之前，尤拉的数是30或31 .因而在第一次删去末位数之前， 尤拉所面临的数为 300到319之间的 一个三位数.在这些数中只有一个数是 13的倍数：312 24 13，所以尤拉最初所想出的数是 24 . 解法二：(利用单调性)容易看出，如果增大一开始的数，发现最终所得的数不会减小，这是因为无论 是乘法运算，还是删去末位数的操作，都具有“非降性” •如果开始所想的数是 25，那么运算过程 如下：25 t 325 t32宀224宀22.综合上述两方面，即知尤拉最初所想的数是 24 . 【巩固】( 2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号 0,1,2,…， 只有0号是黑盒，其余的都是白盒.开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作： 如果k号 白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给 0号、1号、…，(k 1)号盒中各放1个•如果经过 有限次这样的操作后，最终把 10个球全放入黑盒中，那么 4号盒中原有 _个球. 【解析】使用倒推法.最终各盒中依次有球 (10 , 0 , 0 , 0，…)，前一次必然分的是1号盒中的球，否则1号 盒中最终至少有 1个球•所以，倒数第一次分前盒中依次有球 (9 , 1 , 0, 0，…)•依次倒推，为： (10 , 0 , 0 , 0，…)J(9 , 1 , 0 , 0，…)J (8 , 0 , 2 , 0 , 0，…)-(7, 1 , 2 , 0 , 0，…)(6 , 0, 1 , 3 , 0,…)-(5 , 1 , 1 , 3 , 0,…)・(4 , 0, 0 , 2 , 4，…)-(3 , 1 , 0, 2 , 4，…)-(2 , 0 , 2 , 2 , 4，…)-(1 , 1 , 2, 2 , 4，…)-(0, 0 , 1 , 1 , 3 , 5…)，0号盒中此时为0个球，不能再倒推•所 以，4号盒中原有3个球. 【例2】 圆周上放有N枚棋子，如图所示， B点的那枚棋子紧邻 A点的棋子.小洪首先拿走 B点处的1枚 棋子，然后沿顺时针方向每隔 1枚拿走2枚棋子，这样连续转了 10周，9次越过A .当将要第10 次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下 20多枚棋子.若 N是14的倍数，请精确 算出圆周上现在还有多少枚棋子？ A 【解析】设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿了 2a 枚棋子，所以在第 9次将要越过A处棋子时，圆周上有 3a枚棋子. 依次类推，在第 8次将要越过A处棋子时，圆周上有 32a枚棋子，…，在第1次将要越过 A处棋子 时，圆周上有39a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之间，小洪拿走了 2 39a 1 1枚棋子，所以 N 2（39a 1） 1 39a 310a 1 . 10 N 3 a 1 59049a 1是14的倍数，N是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又 N 7 8435 4 a 1 7 8435a 4a 1，所以4a 1必须是7的倍数. 当a 21 , 25 , 27 , 29时，4a 1不是7的倍数，当a 23时，4a 1 91是7的倍数. 所以，圆周上还有 23枚棋子. 【例3】（2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛 ）一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 200枚，我们对这些棋子做如下操作： 每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去； 如果颜色不同，就补 1枚白色的棋子回去.这样的操作，实际上就是每次都少了 1枚棋子，那么， 经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色（填黑或者白） 【解析】由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子 1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子 1枚，白子仍 为偶数.因此最后1枚不可能是白子，故应是黑子. 【例4