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双曲线焦点三角形
2 2
x y
双 曲 线 2 2 1 的 左 右 焦 点 分 别 为 F , F ， 点 P 为 双 曲 线 上 异 于 顶 点 任 意 一
1 2
a b
2
2b
点 F PF ， 则 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 满 足 ： PF1 PF2
1 2 1 cos
2
其 面 积 为 ； S F1 PF2 b co t .
2
证 明 ： 设 PF 1 m , PF 2 n ， 则 m n 2a
在 F PF 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ：
1 2
2 2 2
PF PF 2 PF PF cos F F ，
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2
即 ： m n 2mn cos 4c 4a 4b ( m n ) 4b
2 2 2 2
即 ： m n 2mn cos ( m n ) 4b
2 2
即 ： 2mn 2mn cos 4b ， 即 ： 2b mn (1 cos )
2
2b 2b2
即 ： mn ， 即 ： PF1 PF2
1 cos 1 cos
那 么 ， 焦 点 三 角 形 的 面 积 为 ：
2
1 1 2b
S F PF mn sin sin
1 2 2 2 1 cos
2 2 sin cos
b sin b2 2 2 b2 cot
1 cos 2 sin 2 2
2
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