2019年数学周报杯试题答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会 《数学周报》杯” 2019年全国初中数学竞赛试题参考答案 、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)  1 2 2 •若实数a, b满足-a-ab b2 ^0，则a的取值范围是 ( 2 (A) a< -2 ( B) a> 4 (C) a< -2 或 a>4 (D) 解.C 1 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2 -ab •丄a • 2 = 0 2 1 的判别式 ■ ：= (-a)2 -4 1 (—a 2) >0,解得 aw -2或 a>4. 2 3.如图，在四边形 ABCD 中，/ B= 135° Z C= 120° AB= 2脳，BC= 4-242， CD = 4-、2，则AD边的长为( (A) 2-、6 (B) (C) 4 ,6 (D) 解：D 如图，过点A，D分别作AE, 垂足分别为E，F. 由已知可得 BE=AE= 6，CF = 2 2， 于是 EF= 4+ ,6 . 过点A作AG丄DF，垂足为G.在RtAADG中，根据勾股定理得 AD= (4 J6)2 ( /6)2 (2 刃)2 = 2 2.6 . 4.在一列数Xi, X2, X3,……中，已知Xi =1,且当k>2时，兀二兀1 J _4i〔匸」匕2 - 讣4」1 4」丿 (取整符号la]表示不超过实数 a的最大整数，例如 [2.6] = 2,【0.2】=0)，则x2010等于 ( ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B 由 Xi J 和 Xk f 1-4.打"1 可得 Xi — 1 , X2 — 2 , x^ — 3 , X4 二 4 , X5=1 , X6=2 , X7 =3 ,沧=4 , 因为 2019=4X502+2,所以 x2010 =2. 5. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，等腰梯形 ABCD的顶点坐标分别为 A (1 , 1) , B ( 2 , —1) , C (- 2, — 1) , D (- 1, 1) . y轴上一点 P (0 , 2)绕点A旋转180°得点已,点已 ¥ 1 J Hl. r \B A 绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3 ,点P3 绕点D旋转180°得点P4 ,……,重复操作依次得到点 P1 , P2，…, 则点 P2019 的坐标是( ). (A) (20佃，2) (B) (20佃,-2) (C) (20佃，-2 ) (D) (0 , 2) 解：B由已知可以得到，点R, F2的坐标分别为(2 , 0) (2 , -2 ). 记 P2G2 , b),其中 a2 = 2, b? = -2 . 根据对称关系，依次可以求得： 丘(-4 - a2 , — 2 — b2), P4(2 a2,4 d),巳(-a2 , - 2 - t>2), P6(4 a2 , b2). 令P6(a6,b2),同样可以求得，点R0的坐标为(4 36,b2 )即R。( 4 2p,b2), 由于2019=4 502+2 ,所以点的坐标为(2019 , -2 ). 二、填空题 6. 已知 a= -^5 — 1,贝U 2a3+ 7a2— 2a— 12 的值等于  解：0 由已知得（a+ 1）2= 5,所以a2 + 2a= 4,于是 2a3 + 7a2— 2a—12 = 2a3 + 4a2 + 3a2 — 2a— 12= 3a2 + 6a—12= 0. 7. 一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时 刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间•过了 10分钟，小轿车追上 了货车；又过了 5分钟，小轿车追上了客车；再过 t分钟，货车追上了客车，则 t 解：75 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为 S千米，小轿车、货车、客 车的速度分别为a, b, c （千米/分）,并设货车经x分钟追上客车，由题意得 10 a -b 二 S , ① 15a-c]=2S, ② x b- c= S ③ 由①②，得 30（ b-c）二 S,所以，x=30. 故 t =30-10-5 = 15 （分）. xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是 0（0, 0） , A （ 0, 6) , B (4, 6), C (4 , 4), D ( 6 , 4), E ( 6 , 0).若直线 I 经过点 M (2 , 3),且将多 解: 3 3 如图,延长BC交x轴于点F;连接OB , AF ;连接CE , DF ,且相交于点N. 由已知得点M （2 , 3）是OB, AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心, 所以直线I把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又