等差数列的前n项和 课件.pptVIP

【思考】 【点拨】 　　　　　　 等差数列前n项和的有关计算 1.等差数列前n项和的应用 （1）等差数列前n项和公式，共涉及到五个量a1、n、d、an、Sn.若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知三求二”，其方法一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解. （2）在利用等差数列前n项和公式解题时，常常要联系该公式的变形形式：Sn= 或Sn=An2+Bn. 【名师指津】 2.依据等差数列的性质得到的结论. （1）当n为奇数时，Sn= （2） =a1+（n-1） 【特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. 【例1】已知等差数列{an}. (1)a1= a15= Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d. 【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程. 【规范解答】（1）∵a15= +(15-1)d= ∴d= 又Sn=na1+ ·d=-5,解得n=15,n=-4（舍）. （2）由已知，得S8= 解得a8=39, 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. 　　　　　　 等差数列前n项和的性质的应用 等差数列前n项和的性质. (1)项数（下标）的“等和”性质： (2)项的个数的“奇偶”性质： 等差数列{an}中，公差为d： ①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an； 【名师指津】 ②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列. 【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10， 求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100，S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列求出公差，然后求出S110. 【规范解答】方法一:设等差数列{an}的公差为d,前n项和 为Sn,则Sn=na1+ 由已知得 ①×10-②,整理得d= 代入①,得a1= ∴S110=110a1+ =-110. 故此数列的前110项之和为-110. 方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+ ·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120. ∴S110=-120+S100=-110. 【例】已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63， 前n项和为286，求项数n. 【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数 列项数（下标）的“等和”性质： Sn= 来求得. 【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25， an-3+an-2+an-1+an=63. 而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3， 所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22， 所以Sn= =11n=286，所以n=26. 故所求的项数为26. 【典例】（12分）在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等于零的项. 【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得 25×17+ =25× …………………3分 解得d=-2，………………………………………………6分 ∴Sn=25n+ ×（-2）=-（n-13）2+169， ………9分 由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. ……12分 方法二：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分 ∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由 得 解得