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协方差和相关系数 例 6 ：设(X,Y)的联合密度函数为 求cov(X,Y)和?XY。 解：EX= = = EX2= = = E(XY)= = DX=EX2–(EX) 2= EY= = EY2= = DX=EY2–(EY) 2= Cov(X,Y)=E[(X?EX)(Y?EY)]=E(XY)?(EX)(EY)= = = = = 学习文档 协方差和相关系数 DX=EX2?(EX)2= DY=2 Cov(X,Y)=EXY?EX?EY=EXY= 解：X与Y的联合分布 所以 ? X与Y不相关 =0 所以X与Y也不是独立的 又P{X=2,Y=2}=0?P(X=2)P{Y=2}= /例4/ 设(X,Y)等可能地取(?2.0),(0,?2), (2,0)(0,2),试求X与Y是否独立?是否相关 EX=EY= 注意：X与Y独立??=0。但是?=0 不能断定X与Y独立 * 学习文档 /例5/ 设(X,Y)在圆域x2+y2? 1上服从均匀分布，试求X与Y独立是否独立？是否相关 解：根据题意知X,Y的分布密度函数为 协方差和相关系数 所以 cov(X,Y)=EXY?EXEY=0 X与Y不相关 = = 同理： = 显然 故在圆域x2+y2? 1内f (x,y)=fX(x)fY(y)，不衡成立，因此X与Y不独立 EX= = =0 (奇函数在对称区间积分为0) EXY= = = = =0?1=0 不独立也不（线性）相关，即有其他的除线性外的相关 学习文档 (3)相关矩阵 设(X1, X2,…, Xn)是n维随机向量，其任何两个分量Xi与Xj的相关系数?ij都存在(i , j=1,2,…,n)，则以为?ij元素的n阶矩阵称为该随机向量(X1, X2,…, Xn )的相关矩阵。 协方差和相关系数 显然，相关矩阵也是对称矩阵的非负定称矩。 记作R，即 由于cov(Xi,Xi)=DXi。因此有 =1， /例6/ 已知X与Y的协方差矩阵V，求相关矩阵R，其中 解：由于?11=?22 =1， ?12=?21 = 因此有 学习文档 /例7/ 已知随机变量X 的期望EX=?，方差DX=? 2，且Y=3?4X，求X与Y 的协方差矩阵和相关矩阵。 解：v11=DX=? 2, v22=DY=D(3?4X)=16? 2, 由注意3知道，?XY= ?1，即?12 =?21 = ?1 协方差和相关系数 v12 =v21 = 因此 学习文档 协方差和相关系数（练习题） 1.(X,Y)是二维随机向量，且D(X)=25, D(Y)=36,?XY=，求（1）D(X–2Y)（2）D(X+Y) 2. 二维随机向量(X,Y)有D(X)=4, D(Y)=9，cov(X,Y)=–4。求(X,Y) 的相关系数?XY 解 解 学习文档 1）已知X，Y是两个相互独立的随机变量，已知X在[0,2]上服从均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，则EXY=（ ） ；D(2X+3Y)=( ) 协方差和相关系数（练习题） 解：由已知得：EX=1 , DX= EY= DY= EXY=EXEY= 1? = D(2X+3Y)=4DX+9DY= 均匀 分布 EX=(b-a)/2 DX=(b-a)2/12 指数 分布 EX=1/? DX=1/? 2 学习文档 2)二维随机向量(X,Y)在区域D={(x,y)|0x1,|y|x}内服从均匀分布，Z=2X+4，则EZ=( ),DZ=( ) 协方差和相关系数（练习题） 解：联合密度函数为 EX= DX=EX2?( EX) 2= EZ=E(2X+4)=2EX+4=2?+4= DZ=D(2X+4)=4DX= 学习文档 3)已知X与Y相互独立且均服从N(0,2)，设U=aX+b，V=cX+dY（其中a,b不全为零，c,d不全为零），则U，V的相关系数?UV=( ) DU=D(aX+bY)=a2DX+b2DY=2(a2+ b2) DV=D(cX+dY)= c2DX+d2DY=2(c2+d2) Cov(aX+bY，cX+dY)=a?cov(X, cX+dY)+b??cov(Y, cX+dY)= =a[c?cov(X,X)+d?cov(X,Y)]+b?[c?cov(Y,X)+d?cov(Y,Y)] =ac?DX+bd?DY+(ad+bc)?cov(X,Y)= ac?DX+bd?DY=2(ac+bd) 协方差和相关系数（练习题） 学习文档 P.93 9 已知二维离散分布，求E(X+Y) , E(XY) 11 已知方差和相关系数，求D(X+Y) 12?????