2020北京四中高三（上）期中数学含答案.docx

PAGE1 / NUMPAGES1 2020北京四中高三（上）期中 数 学 （试卷满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.已知全集，集合，，则 A． B． C． D． 2.下列命题中的假命题是 A. B. C. D. 3.已知向量，，若与共线，则实数 A. B. C. D. 4.已知是上的奇函数，当时,,则的解集是 A． B． C． D． 5.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 A． B． C． D． 6.若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 7.已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8.声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 A．105倍 B．108倍 C. 1010倍 D．1012倍 9.函数，的大致图象是 10.已知函数 给出下列三个结论： ① 当时，函数的单调递减区间为； ② 若函数无最小值，则的取值范围为； ③ 若且，则，使得函数恰有3个零点,,，且. 其中，所有正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.函数的定义域是_________． 12.已知，且. 则=_________，=_________． 13.已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________． 14.圆与直线相切于点，则圆的半径为_________，直线的方程为_________． 15.关于的方程的实根个数记为．若，则=_________； 若，存在使得成立，则的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16．（本小题满分14分） 在中，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值．  17．（本小题满分14分） 已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在上的最大值； （Ⅲ）求证：存在唯一的，使得. 18．（本小题满分14分） 已知函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）从 = 1 \* GB3 ①，； = 2 \* GB3 ②，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件， 求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期. 19．（本小题满分14分） 已知：函数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值． 20．（本小题满分14分） 已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于，两点． （Ⅰ）若，求直线的方程； （Ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率．  21．（本小题满分15分） 对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合. 已知，. （Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合； （Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对，满足，且？  2020北京四中高三（上）期中数学 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C C D B B D C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 题号 11 12 13 14 15 答案 1， 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16.解：（Ⅰ），∴由余弦定理， ∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5； （Ⅱ）在中，，，由正弦定理有：，∴， ∵，∴，∴C为锐角，∴， ∴． 17.解：（Ⅰ）由，得, 所以，又 所以曲线在点处的切线方程为：， 即：. （Ⅱ）令，得. 与在区间的情况如下： - 0 + 极小值 因为 所以函数在区间上的最大值为6. （Ⅲ）证明：设=， 则， 令，得. 与随x的变化情况如下： (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) h'(x) + 0 - 0 + h ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则的增区间为，，减区间为. 又，，所以函数在没有零点， 又， 所以函数在上有唯一零点. 综上，在上存在唯一的，使得. 18.解：（Ⅰ）. （Ⅱ）选择条件①.的一个周期为. . 因为,所以.所以.所以. 当时，即时，在取得最小值. 选择条件②.的一个周期为. . 因为,所以. 所以当时，即时，在取得最小值. 19.解： （Ⅰ） （Ⅱ）令，则， 当时，设，则 所以在单调递减， 即，所以 所以在上单调递减，所以， 所以． （Ⅲ）原题等价于对恒成立， 即对恒成立