全国初中数学竞赛预赛试题含答案.doc

2013年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 、选择题(共6小题，每小题6分，共36分) 以下每小题均给出了代号为 A , B, C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 •请将正确选项的代号字母填入题后的 括号里，不填、多填或错填都得 0分) 1若有理数a、b满足(a • 1) •7(a • b) =0，则ab等于【 】 (A) -1 ( B) 1 ( C) 0 (D )无法确定 【答】A • 解：因为a、b都是有理数，且(a • 1) • J7(a b^ 0，所以a 1=0, 且 a ^0, 得 a = -1,b =1，所以 ab = -1 • 2.如图，由7个小正方形组成的平面图形折叠(相邻的 两个面垂直)成正方体后，重叠的两个面所标数字是【 】 (A ) 1 和 7 ( B) 1 和 6 (D) 2 和 6 【答】B • 解：若将图中标有1的面去掉，则标有 2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一 种展开图，其中标有 3和6的面是对面；只看题图最下面一行，标有 3和1的面应是对面, 所以重叠的两个面是标有 1和6的面，应选B • 3.如图，在四边形ABCD中，AD// BC, BD平分/ ABC交AC于点O, AE平分/ CAD交BD 于点E,Z ABC^ ： ,Z ACB= 1，给出下列结论： ①/ DAE」-② JAD 二 如；③/ aEB =」(二■ ■■-'); 2 CB CO 2 ④/ ACD = 180 -(J ■ ■■-').其中一定正确的有【 】 【答】B .1 1 1 解：(1) •/ AD // BC,.・./ DAE= DAC ACB ，•①正确; 2 2 2 AD AO (2) •/ AD // BC ,•△ AODCOB,「. = •••②正确； CB CO1 (3) Z AEB=Z DAE + Z ADB=Z DAE + / CBD = ^(a+0)，•③正确；  立.•••④不正确. 综上，应选B.  5.关于x的不等式ax 3a 3 x的解集为x ：：： -3，则a应满足【 二、填空题(共 6小题，每小题6分，共36 分)  11 .关于 x的方程x2 (1 -m)x • m • 2 = 0的两实数根之积等于 m2「7m • 2，则 【答］4. 、， 2 解：由题意得 m • 2 = m -7m 2，解得mb = 0, m2 = 8，当g = 0时，原方程无实数 根，当m2 =8时，原方程有两个不相等的实数根，所以 ,m • 8 16 = 4 .  1 +- + ...4 6 670 1 6a - 2 = 6a — 2 = (1) 求证：四边形 EFCH是正方形； (2) 设BE=x, △ CGH的面积是y,求y与x的函数解析式，并求 y的最大值. 【答案】(1)v E、B、C、H、F在同一圆上，且/ EBC=90° ••• / EHC=90° / EFC=90° . 2 分 又 / FBC = Z HBC=45° • CF= CH . 4 分 / HBF +/HCF=180°, HCF=90° . 6 分 •四边形EFCH是正方形. 8分 (2)v / GHB + / GCB=180° , • / GHB=90°，由(1)知/ CHE=90° , / CHG + / CHB= / EHB+ / CHB . CG=BE=x, - - DG = DC - CG = 1 - X . 1 1 △ CGH中，CG边上是高为 一DG (1-X). 2 2  1 1 当x=2时，y有最大值亦. 15.数学活动课上，李老师出示了问题： 已知，如图 ①，在△ ABC中，/ BAC=45 ° AB=AC, AD丄BC,垂足为D，设BD = a，用含有a的式子表示 AD的长. 经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路：如图②，作/ DAE=45° AE和BC的延 长线相交于点 E,过点C作CF丄AE于点F.通过证明△ ABD◎△ ACF，得到CF=a,进而 推出 CE= 2a，所以 AD=DE=CD+CE=a 2a =(1 2)a. 在此基础上，李老师又提出了如下问题: 已知△ ABC 中，/ BAC=45° AB>AC, AD 是 BC 边上的高，设 BD=a, CD=b，求 AD 的长• 请你画图并解答这个问题. 【答案】（1）当/ ACB为直角时，△ ABC为直角三角形，b=0, AD=AC=BD =a. 2分 （2）当/ ACB为锐角时，如图③，作/ DAE =45° , AE和BC的延长线相交于点 E, 点C作CF丄AE于点F .则△ CEF和厶ADE都是等腰直角三角形• 设 AD 二 DE =x , CF =EF =m.贝U A