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专题17 正切类问题
1.(2021?日照)已知:抛物线经过,,三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点为直线上方抛物线上任意一点,连、、,交直线于点,设,求当取最大值时点的坐标,并求此时的值.
(3)如图2,点为抛物线对称轴与轴的交点,点关于轴的对称点为点.
①求的周长及的值;
②点是轴负半轴上的点,且满足为大于0的常数),求点的坐标.
2.(2021?盘锦)如图,抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与轴交于点,直线与轴交于点,与轴交于点,与直线交于点.
(1)点的坐标为 ;
(2)如图1,点为第一象限抛物线上的一点,的延长线交于点,于点,于点,若,求点的坐标;
(3)如图2,点为第一象限抛物线上的一点,且点在射线上方,动点从点出发,沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动,当,且时,求点的运动时间.
3.(2021?烟台)如图,抛物线经过点,,与轴正半轴交于点,且,抛物线的顶点为,对称轴交轴于点.直线经过,两点.
(1)求抛物线及直线的函数表达式;
(2)点是抛物线对称轴上一点,当的值最小时,求出点的坐标及的最小值;
(3)连接,若点是抛物线上对称轴右侧一点,点是直线上一点,试探究是否存在以点为直角顶点的,且满足.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2021?荆州)已知:直线与轴、轴分别交于,两点,点为直线上一动点,连接,为锐角,在上方以为边作正方形,连接,设.
(1)如图1,当点在线段上时,判断与的位置关系,并说明理由;
(2)直接写出点的坐标(用含的式子表示);
(3)若,经过点的抛物线顶点为,且有,的面积为,当时,求抛物线的解析式.
5.(2021?黄冈)已知抛物线与轴相交于,两点,与轴交于点,点是轴上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若,过点作轴的垂线交抛物线于点,交直线于点.过点作于点,当为何值时,;
(3)如图2,将直线绕点顺时针旋转,它恰好经过线段的中点,然后将它向上平移个单位长度,得到直线.
① ;
②当点关于直线的对称点落在抛物线上时,求点的坐标.
6.(2021?岑溪市模拟)如图,抛物线交轴于点、,交轴于点.点坐标为,点坐标为,点与点关于抛物线的对称轴对称.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点为抛物线对称轴上一动点,连接,以、为边作平行四边形,是否存在这样的点,使平行四边形是矩形?若存在,请求出点的坐标;
(3)在(2)的结论下,求出的值.
7.(2021?镇江二模)已知抛物线交轴于点和点,其对称轴为直线,点在上,坐标为,射线沿着直线翻折,交于点,如图(1)所示.
(1) , ;
(2)如图(2),点在轴上方的抛物线上,点在直线上,且,求证:.
(3)在(2)的条件下,直接写出的值 ;直接写出点的坐标 , .
8.(2021?道里区二模)如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线交轴于点,该抛物线的顶点为.
(1)如图(1),求,的值;
(2)如图(2),过点作轴的垂线,点为垂足,横坐标为的点在抛物线上,点在第四象限且位于右侧,连接,,的面积为,求与之间的函数关系式,不要求写出自变量的取值范围;
(3)如图(3),在(2)的条件下,连接,点与点关于原点对称,过点作轴的平行线与抛物线在第二象限交于点,点在第三象限,点在的延长线上,若,,,,求点的坐标.
9.(2021?金坛区模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于点,抛物线的对称轴是直线,顶点是,过点作交轴于点,交抛物线于点,连接.将线段沿线段平移得到(点与点对应、点与点对应),连接.
(1)填空:线段 ;
(2)若点恰好落在直线上,求的长;
(3)连接并延长交抛物线于点,若,求点的坐标.
10.(2021?市中区三模)如图,在平面直角坐标系中,直线与两坐标轴交于、两点,抛物线过点和点,并与轴交于另一点,顶点为.点在对称轴右侧的抛物线上.
(1)求抛物线的函数表达式和顶点的坐标;
(2)若点在抛物线的对称轴上,且轴,若以点,,为顶点的三角形与相似,求出此时点的坐标;
(3)若点为坐标平面内一动点,满足,请直接写出面积最大时点的坐标及该三角形面积的最大值.
11.(2021?江阴市模拟)已知二次函数的图象交轴于点、两点在左侧),与轴交于点,与其对称轴交于点,直线交轴于点,.
(1)求点的坐标;
(2)①连接,,若外接圆的圆心正好在轴上,求二次函数表达式;
②连接,若,求此时二次函数表达式.
12.(2021?阿城区模拟)如图,已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,.
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图2,若是第一象限抛物线上的一点连接、、,交轴于点,的面积是,点横坐标是,求出与的函数解析式并直接写出自变量的取值范围;
(3)如图3,在(2)的条件下,若是轴的负半轴上
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