千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第33炼 向量的模长问题代数法（含模长习题）.docVIP

第五章 第33炼 向量的模长问题——代数法 向量 第33炼 向量的模长问题——代数法 一、基础知识： 利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式 1、模长平方：通过可得：，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方 2、坐标运算：若，则。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长 3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题 例1：在中，为中点，若，则 _____ 欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：题目条件有，进而可求，且可用表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题 解：为中点 可得： 代入可求出： 答案： 例2：若均为单位向量，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将平方，转化为数量积问题，再求最值。 解： ① ①转化为 答案：B 例3：平面上的向量满足，且，若，则的最小值为___________ 欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：发现所给条件均与相关，且可以用表示，所以考虑进行模长平方，然后转化为的运算。从而求出最小值 解： ，代入可得： 答案： 例4：已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：题目所给条件围绕着与，所以考虑所求向量用这两个向量进行表示：，从而模长平方变成数量积问题，可得：，将视为一个整体，则可配方求出最小值 解： 答案：A 小炼有话说：本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是 例5：已知平面向量的夹角，且，若，则的取值范围是__________ 欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：由和夹角范围即可得到的范围，从而可想到将模长平方，再利用转变为关于的问题，从而得到关于夹角的函数，求得范围。 解： 答案： 例6：已知，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：由条件可得，所以考虑将模长平方，从而转化为数量积问题，代入的值可得到关于的二次函数，进而求出最小值 解： 答案：D 例7：已知直角梯形中，∥，为腰上的动点，则的最小值为__________ 欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：所求难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点的纵坐标与梯形的高相关，可设高为，，，则，所以，，即 答案： 例8：如图，在边长为的正三角形中，分别是边上的动点，且满足，其中，分别是的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将进行表示，从而模长平方后可写成关于的表达式，再利用即可消元。 解： 答案：C 例9：已知与的夹角为，，，且，, 在时取到最小值。当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：本题含两个变量，且已知范围求的范围，所以考虑建立和的关系式， ，从而考虑模长平方，向靠拢，可得：，所以当达到最小值时，，由可得解得，即 解： 时，取得最小值 ，所以不等式等价于： 答案：C 例10：已知中，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的范围是__________ 欢迎关注微信公众