千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第59炼 新信息背景下的数列问题.docVIP

第七章 第59炼 新信息背景下的数列问题 数列 第59炼 新信息背景下的数列问题 含“新信息”背景的数列问题，以其难度通常位于试卷的最后一题。此类问题有以下几个难点：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点，传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”。但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向。三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系，即前面问题的处理是为了最后一问做好铺垫。但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加。本节通过10道例题来说明如何对这种“新信息”题目进行理解与分析，如何寻找到解题的突破口与欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246 一、基础知识： 1、此类问题常涉及的知识点 （1）等差数列与等比数列的性质与求和公式 （2）数列的单调性 （3）放缩法证明不等式 （4）简单的有关整数的结论 （5）数学归纳法与反证法 2、解决此类问题的一些技巧： （1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246 （2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法。所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索。 （3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246，使得复杂情况也有章可循。 二、典型例题： 例1：定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别的，若存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列” （1）若数列为“部分平方数列”，且，求使数列的前项和为完全平方数时的值 （2）若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由 （3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列 解：（1）欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：依题意可知先求出的表达式，再根据表达式的特点寻找到完全平方式即可 时， 时， 时，是完全平方数 （2）欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：若要观察的前项和是否为完全平方数，则要先求出的通项公式。由可求得，因为为完全平方式，所以若有些项为中对应项的相反数，则再求和时很有可能不是完全平方数。根据时，，可知只有时，恒大于0，即，所以是“完全平方数列”；时，中存在部分项小于0，可知不是“完全平方数列” 解：时， 时， 当，时， 的前项和即为，所以为“完全平方数列” 当时，不是完全平方数 不是“完全平方数列” 综上所述：时，是“完全平方数列”，时，不是“完全平方数列” （3）欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：依题意可知该等差数列的前项和公式应为完全平方式，由等差数列求和公式 出发，可将其通过配方向完全平方式进行靠拢，可得：，所以有，再根据利用整数的特性求解即可。 解：设所求等差数列 的首项为，公差为 若为“完全平方数列” 则，为完全平方式 由①可令 由②令，可得： 代入到③可得： 或 当时， 当时， 当时，符合上式 综上所述， 例2：已知数列的前项和为，且满足，，设，． （1）求证：数列是等比数列； （2）若，，求实数的最小值； （3）当时，给出一个新数列，其中设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由． （1）欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：证明为等比数列，可以利用条件中的作为中间桥梁寻找的关系，则有，只需找到的关系，由及可得：，进而代入解出 解： 为公比是的等比数列 （2）欢迎关注微信公众