2020年高考数学母题题源全揭秘专题06 指数函数（山东、海南专版）（解析版）.docxVIP

专题06 指数函数 【母题题文】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【试题解析】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选B. 【命题意图】 高考对本部分内容的考查主要是指数函数的应用，指数式、对数式的大小比较，以能力为主，重点考查函数的单调性及其函数图象．主要体现在以下几个方面： （1）掌握幂的运算. （2）理解指数的概念及其运算性质，了解指数在简化运算中的作用. （3）理解指数、对数函数的概念，理解指数、对数函数的单调性. 【命题方向】 高考通常以考查指数、对数的运算以及指数、对数函数的图象与性质的应用为主，多以指数、对数函数为载体，查函数值的大小比较及单调性． 此外，指数、对数函数的图象及应用也常有出现，一般以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，解题时熟练掌握指数、对数的运算性质与运算法则及其图象与性质，注意分类讨论、数形结合及转化与化归思想的运用. 【思路点拨】 解答指数式、对数式比较大小，一般有两种思路： 思路一：利用函数单调性 同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小，可以利用函数的单调性来比较，即 （1）比较形如与的大小，利用指数函数的单调性； （2）比较形如与的大小，利用对数函数的单调性； （3）比较形如与的大小，利用幂函数的单调性. 思路二：中间桥梁法 既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小. （1）比较形如与的大小，一般找一个“中间值c”，若且，则；若且，则.常用到的特殊值有0和1.() （2）比较形如与的大小，一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值，即或者，进而利用中间值解決问题. 【方法总结】 （一）常用的指对数变换公式： （1）； （2），； （3）； （4）换底公式：， 进而有两个推论：（令），． （二）比较幂的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． （三）比较对数式的大小： （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，当对数底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小； （2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； （3）若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较，另外若题中既有对数式又有指数式，也常用中间量比较大小． （四）解指数、对数方程或不等式： （1）简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． （2）①形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论； ②形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解． （五）快速判断对数的符号：八字真言“同区间正，异区间负”. 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和. （1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数； （2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数. 例如：等 （六）比较大小的两个理念： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，，从而只需比较底数的大小即可. （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对