2020年高考数学母题题源全揭秘专题10 三角函数及其性质（山东、海南专版解析版）.docx

专题10 三角函数及其性质 【母题题文】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= A． B． C． D． 【答案】BC 【试题解析】由函数图像可知：，则，所以不选A, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【命题意图】 （1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性. （2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等）. （3）能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响. （4）理解同角三角函数的基本关系式、诱导公式，能运用和与差的三角函数公式、二倍角公式等进行简单的恒等变换. 【命题规律】 三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定； （3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数的性质与其他知识的综合应用． 【方法总结】 （一）函数图象的平移变换解题策略 （1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. （二）结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)的方法 （1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则. （2）求ω，已知函数的周期T，则. （3）求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π. （三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法 （1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； （2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)． （四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 （1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． （3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. （五）三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法 （1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解． （2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f（x0）的值进行判断． （3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0. （六）三角函数的图象及性质与三角恒等变换相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式． （2）利用公式求周期． （3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数