错位重排专题.docxVIP

错位重排问题专项 错位重排 1-6 个元素的错位重排数分别为 0，1，2，9，44，265 递推公式： Dm=（ m-1）*[D（ m-1） +D （ m-2） ]； 错位重排模型： 把编号为 1-m 的小球分别放入编号为 1-n 的箱子错位重排 （即 1号球不在1号箱子、 2号球不在 2号箱子 m号球不在 m号箱子），且每个箱子一个球，有多少种不同情 况？ 楚香凝证明：假设总情况数为 D（ m）种，如果让 1号球先选，有（ m-1）种选择；假设 1 号球选的 2号箱子，接下来让 2号球选箱子，进行分类讨论： ①如果 2号球选的 1号箱子，相当于剩下的（ m-2）个球进行错位重排，有 D（ m-2）种； ②如果 2号球选的不是 1号箱子，则题目可转化为把编号为 2→ m 的小球分别放入编号为 1、3→ m的箱子错位重排 （即 2号球不在 1号箱子、3号球不在 3号箱子 m号球不在 m号箱子）， 相当于 m-1个球错位重排，有 D（ m-1）种； 所以可得 D（ m） =（ m-1）*[D （ m-1） +D（ m-2） ] ，得证； 例1：相邻的 4个车位中停放了 4辆不同的车， 现将所有车开出后再重新停入这 4个车位， 要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ 【北京 2014 】A.9 B.12 C.14 D.16 楚香凝解析： 解法一：四种元素错位重排有 9种，选 A 解法二： ABCD四辆车分别停放在一二三四号位置， A先选有三种情况，假设 A 选了二号， 那么 B 再选、有三种选择，剩下 C和 D 都只有一种选择，共 3*3=9 种，选 A 例2：相邻的 4个车位中停放了 4辆不同的车， 现将所有车开出后再重新停入这 4个车位， 要求有三辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ A.2 B.6 C.8 D.9 楚香凝解析： 先选出停的正确的那辆车 C（ 4 1 ）=4种，剩下三辆车错位重排有 2种，共4*2=8 种，选 C 例3：相邻的 4个车位中停放了 4辆不同的车， 现将所有车开出后再重新停入这 4个车位， 要求有两辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ A.2 B.6 C.8 D.9 楚香凝解析： 先选出停的正确的两辆车 C（ 4 2 ）=6种，剩下两辆车错位重排有 1种，共6*1=6 种，选 B 例 4：五个瓶子都贴有标签， 其中恰好贴错了三个， 贴错的可能情况有多少种？ 【北京 2006】A.60 B.46 C.40 D.20 楚香凝解析：先选出贴错的 3个瓶子有 C（ 5 3 ）=10种，三个贴错的瓶子相当于三个元素错 位重排、有 2种，共 10*2=20 ，选 D 例 5：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲、乙两人都不能安排在星期五值班，则不同的排班方法共有（ ） 种 。 【 福 建 2007 】A.6 B.36 C.72 D.120 楚香凝解析： 选择一个工作人员安排到星期五有三种情况， 剩下四个人随便排 A（ 4 4 ）=24 种，共 3*24=72 ，选 C 例 6：幼儿园小班有 7 名小朋友，上课铃响慌乱中迅速回到座位上，结果只有 3 名小朋友坐到了自己的座位上，请问这样的情况一共有多少种？ A.315 B.350 C.385 D.420 楚香凝解析： 先选出 4 名坐错了的小朋友 C（ 7 4 ）=35，然后 4 人错位重排有 9 种，共 35*9=315 种，选 A 例 7：设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（ ） A.30 种 B.31 种 C.32 种 D.36 种 楚香凝解析：总情况数 A（ 5 5 ） =120 种，都不相同相当于五个元素错位重排有 44 种，有 一个杯盖和茶杯编号相同有 C（ 5 1 ）*9=45 种，所以满足题意的有 120-44-45=31 种，选 B 例 8：从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） 种 ？ A.280 B.240 C.180 D.96 楚香凝解析：除去甲乙从另外四人中找一个人当翻译，有 A（ 4 1 ）=4 种，剩下的三个位置可以任意安排 A（ 5 3 ） =60 种，所以总共有 4*60=240 种 ， 选 B 例 9：某班期中考试和期末考试有四个人两次成绩都排前 4 名，已知有一名同学两次排名一样，则这四个人期末排名有几种可能？ 【吉林政法 2014 】 A.4 B.6 C.8