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《比和比例》(第2课时)教案 探究版
教学目标
知识与技能
1.了解成比例线段的定义,会判断四条线段是否成比例.
2.了解连比的意义,会进行有关的计算.
过程与方法
通过与前节知识相比较,初步培养学生“类比”的数学思想.
情感与态度
通过运用成比例线段的性质及连比解决问题,提高学生的学习兴趣.
教学重点
成比例线段及连比的定义.
教学难点
连比的应用.
教学过程
一、复习引入
1.比、比的前项和后项的概念是什么?
2.比例的基本性质是什么?
3.已知a,b,c,d成比例,且a=1,b=4,c=5,求d.
学生回答后,师引入新课.
设计意图:通过复习比、比的前项和后项的概念及比例的基本性质,为学习比例线段和连比做好准备.
二、探究学习
实验与探究
当单位长度确定后,就可以量出一条线段的长度.在选用同一单位长度表示两条线段长度时,它们的量数的比,叫做这两条线段的比.
(1)选用cm为单位长度,用刻度尺分别量线段AB和CD的长度(如图),计算AB∶CD.
师生活动:由学生动手操作,量出线段长度后,计算线段的比值.
根据学生测量的实际值,计算结果,答案不唯一.
(2)如果选用mm为单位长度,用刻度尺分别度量线段AB和CD的长度,计算AB∶CD.
师生活动:由学生动手操作,量出线段长度后,计算线段的比值.师要提醒学生注意单位的选取.
根据学生测量的实际值,计算结果,答案不唯一.
(3)由(1)(2)你发现两条线段的比与所选用的单位长度有关吗?与同学交流.
师生活动:师可让学生独立对比在不同单位长度下计算出的AB∶CD的值,由学生探索结论并相互交流.
结论:两条线段的比与所选用的单位长度无关,但必须使用同一单位长度.
归纳概念:在四条线段a,b,c,d中,如果a∶b=c∶d,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
师强调:①由于两条线段的比就是两个数的比,因此比例的基本性质也适合于比例线段;
②两条线段的比是一个不带有单位的数;
③成比例线段与线段的比的区别:线段的比是对于两条线段而言的,其实质是两条线段之间存在的顺序和数量关系,成比例线段是对于四条线段而言的,其实质是四条线段之间存在的顺序和数量关系.在四条线段中,只有第一、二两条线段的比等于第三、四条线段的比时,才能说第一、二、三、四条线段是成比例线段.
观察与思考
如图:
若线段AD=15,DB=25,AB=40.思考下面的问题:
(1)AD∶DB等于什么?DB∶AB呢?
师生活动:学生独立完成计算.
生给出结论:AD∶DB=3∶5,DB∶AB=5∶8.
(2)按照上面的结果,可以把线段AD,DB,AB的比写成什么形式呢?
师生活动:连比的形式学生在前面的学习中已有过接触,此处师可通过复习导入,由学生独立写出线段AD,DB,AB的连比形式.
结论:在“AD∶DB”与“DB∶AB”这两个比中,“DB”是相同的,也就是说,前一个比的后项与后一个比的前项是相同的,因而可以把这两个比连起来写在一起,得到
AD∶DB∶AB=3∶5∶8,
这种形式叫做连比.
设计意图:用问题串的形式引导学生由具体到抽象地进行思考,以更好地理解线段的比、成比例线段及连比的概念,感悟类比和抽象的数学思想,形成良好的思维习惯.
三、例题精讲
例1 如图,已知,且AD=15,AB=40,AC=28,求AE的长.
师生活动:教学时,师应引导学生结合已知条件观察题图,找出图中已知的成比例线段,以及图中长度已知的三条线段,分析它们与成比例线段之间的数量关系.从而使求AE的长的问题转化为在成比例的四条线段中,如果已知其中的三条线段求第四条线段的问题.
解:由已知条件,得
DB=AB―AD=40―15=25,
EC=AC―AE=28―AE.
所以=.
根据比例的基本性质,得
15(28―AE)=25AE.
解关于AE的方程,得
AE=10.5.
例2 △ABC的周长为52cm,AB︰BC︰AC=3︰4︰6,求三条边的长.
分析:根据三条边的比,确定每条边在周长中的占比是解题的关键.
解:因为3+4+6=13,
AB=52×=12,
BC=52×=16,
AC=52×=24.
所以,AB、BC、AC的长分别是12cm、16cm、24cm.
设计意图:通过例题的示范性解答,帮助学生及时巩固线段的比及成比例线段的概念,为学生更好的掌握本节所学提供帮助.
四、挑战自我
(1)如果(a、b、c都不为0),能得到a︰b︰c=2︰3︰4吗?为什么?
(2)如果a︰b︰c=2︰3︰4,能得到吗?为什么?
分析:(1)设参数k,将a,b,c分别用k表示,从而探求a︰b︰c;(2)利用连比的概念,分别探求a与b及b与c的比值关系,从而探求,,之间的关系.
解:(1)由可得a︰b︰c=2︰3︰4.
设,则a=2k,b=3k,c=4
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