15、奇偶性第2课时函数奇偶性的应用.ppt

第2课时 函数奇偶性的应用 1.函数f(x)=x2，x∈［-1，2］是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 【提示】∵x∈［-1,2］，不关于原点对称. C 2.（2013?山东高考）已知函数f（x）为奇函数， 且当x＞0时，f（x）= x2+ ，则f（-1）=（　 ） A．2 B．1 C．0 D．-2 解题提示：由条件利用函数的奇偶性可得f（-1）= -f（1），运算求得结果． D 3.如果定义在区间［3-a，5］上的函数f(x)是偶 函数，则a=_______. 【解析】∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)的定义域关于 原点对称，∴3-a+5=0，∴a=8 8 4.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。 解： 例1.画出下列函数的图象 （1） （2） 分析：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据对称性画出函数在x0时的图象. （2）函数是奇函数，同样根据对称性解决. 解：（1）当 时， 其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线， 与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0). 此时函数图象在y轴右半部分如图所示： 根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图. （2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且在（0，+∞）上函数值都是正值，函数在（0，+∞）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明） 根据函数在（0，+∞）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内部分. 根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。 探究点2 根据函数的奇偶性求函数解析式 例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式. （1）f(x)是偶函数； （2）f(x)是奇函数. 探究点3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性 函数的单调性与奇偶性的关系 (1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反. (2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等. 【提升总结】 例3.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明函数在（-∞，0）上也是减函数. 所以-f(x1)+f(x2)0 ，即f(x1)-f(x2)0. 证明：在（-∞，0）上任取x1x2，则-x1-x20 因为函数在（0，+∞）上是减函数，所以 由于函数f(x)是奇函数，所以 根据减函数的定义，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数. 例4：若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且 在[0,+∞)上是减函数，则 与 的 大小关系是______. 【分析】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小. 【解】∵ 又∵f(x)在［0,+∞)上是减函数, ∴ 又∵f(x)是偶函数，∴ ∴ 【答案】 1.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0)，则 ｛x|f(x-2)0｝=( ) A.{x|x-2或x4} B.{x|x0或x4} C.{x|x0或x6} D.{x|x-2或x2} 【解析】因为函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，且f(2)=0,由偶函数的性质可知，若f(x-2)0,需满足|x-2|2,得x4或x0,故选B. B 【提示】由函数y=f（x+6）为偶函数，图象关于y轴 对称可得函数y=f（x）的图象关于x=6对称，由函数 f（x）在（6，+∞）上为减函数，可得在（-∞，6） 上为增函数，从而可判断. 2.定义域为R的函数f（x）在（6，+∞）上为减函数 且函数y=f（x+6）为偶函数，则（　　） A．f（4）＞f（5） B．f（4）＞f（7） C．f（5）＞f（8） D．f（5）＞f（7） C