证明圆的切线方法(推荐文档).docx

PAGE PAGE # 证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系， 就出现了新的一类习题， 就是证明一直线是圆的 切线?在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过O O上某一点 A,证明I是O O的切线，只需连 0A，证明OA丄l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 . 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交 0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄 BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， OB 丄 BF. ???/ OEF=9O°. EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 P为BC延长线上一点，且 PA=PD.例2 如图，AD是/ BAC的平分线， 求证：PA与 P为BC延长线上一点，且 PA=PD. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD, ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. 又???/ B= / E, ???/ 1 = / E ?/ AE是O O的直径， 0 ? AC 丄 EC, / E+ / EAC=90 . ???/ 1 + / EAC=90 即OA丄PA. 证明二：延长AD交O O于E,连结?/ AD是/ BAC的平分线,? BE=CE,? OE 丄 证明二：延长AD交O O于E,连结 ?/ AD是/ BAC的平分线, ? BE=CE, ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P ?/ PA=PD, ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + / PAD=90° 即OA丄PA. ? PA与O O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 例3 如图，AB=AC，AB是O O的直径，O O交BC于D，DM丄AC于M 求证：DM与O O相切. 证明一：连结OD. ?/ AB=AC , ???/ B= / C. ?/ OB=OD , ???/ 仁/ B. ???/ 1= / C. OD // AC. ?/ DM 丄 AC , DM 丄 OD. DM与O O相切 证明二：连结OD , AD. ?/ AB是O O的直径, AD 丄 BC. 又??? AB=AC, / 1= / 2. ?/ DM 丄 AC , / 2+Z 4=90° ?/ OA=OD , / 仁/3. / 3+Z 4=90°. 即0D丄DM. ??? DM是O O的切线 说明：证明一是通过证平行来证明垂直的 ?证明二是通过证两角互余证明垂直的, 解题中注意充分利用已知及图上已知 例4如图，已知： AB是O O的直径，点 C在O O上，且/ CAB=30 °, BD=OB , D在AB的延长线上 求证：DC是O 0的切线 证明：连结OC、BC. ?/ OA=OC , ???/ A= / 1= / 30°. ???/ BOC= / A+ / 1= 60°. 又??? OC=OB , △ OBC是等边三角形. OB=BC. ?/ OB=BD , OB=BC=BD. OC 丄 CD. ? DC是O O的切线. 说明：此题是根据圆周角定理的推论 3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较 好. 例5 如图，AB是O O的直径，CD丄AB，且OA2=OD ? OP. 求证：PC是O O的切线. 证明：连结OC ?/ OA2=OD ? OP, OA=OC , 2 ? OC =OD ? OP, OC OP OD ~OC . 又???/ 1= / 1, ???△ OCP s\ODC. ???/ OCP= / ODC. ?/ CD 丄 AB , 0 ???/ OCP=90 . ? PC是O O的切线. 说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于 F. CFG CFG的外接圆，但△ 求证：CE与厶CFG的外接圆相切 分析：此题图上没有画出△ FG的中点，为此我们取 FG的中点O,连结 证明：取FG中点O,连结OC. T ABCD是正方形， BC 丄 CD , △ CFG 是 Rt△ ?/