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美丽的轨道 ，神奇的刀 愤悱制造作坊主人 闫二斌 erbin88@163.com 摘 要：为让学生对卫星运行的轨道有更加直观的认识，并感悟其中的奇妙，欣赏其中的壮 美，在卫星初速垂直于极径的情况下，对卫星运行轨道随卫星发射初速变化的演变过程进行了研 究。发现此时卫星运行轨道的演变不仅仅是圆锥曲线那么简单，而是历经了“直线、椭圆、圆、 椭圆、抛物线、双曲线 （的一支）”的演变过程，这与刀切圆锥所得截痕随刀的角度的变化的演 变过程有着更为紧密的相似性。 关键词：直观思维；卫星轨道演变；圆锥曲线；唯一经过定理；等动能线 文献[1-2]论证了：对于天体或人造天体在中心天体的作用下，其运动轨迹必为某一种圆锥曲 线，而到底是哪一种圆锥曲线，取决于卫星机械能的正负性[2]。那么由此便可提出，对于定点定 向发射的卫星，其运行轨道应该如何绘制的问题，有了前人的研究，这个问题的解答就变得非常 简单了，现详细论述如下。 1 轨道的绘制 r 设中心天体的质量为M，卫星的质量为m，且mM，初始时其二者之间的距离为 . 现 0 v v v 在把卫星以初速 发射， 的大小不定，但是方向始终固定，为了简单起见，设初速 始终与 0 0 0 r 其二者的连线（即 ）垂直，如图1所示。问：对于不同大小的初速，卫星的运动轨迹是怎样的？ 0 图1 卫星垂直发射的初始状态 解：为了简单起见，不妨将中心天体和卫星都视为质点，并以卫星所在位置为原点O，建立 r 如图2 所示的坐标系，设中心天体所在位置为A 点，则易知A 点的坐标为 （ ，0）. 卫星的轨 0 道演变有三个临界情形，即轨道为直线 （即初速为0 时）、圆、抛物线时的三种情形。 情形1：直线段情形。此时卫星发射时初速为0，则易知此时卫星轨迹即为从原点O 到A 的 直线段，如图3 中的直线段OA 所示。而且撞击后能量损失，很有可能将与中心天体合二为一。 - 1 - 图2 模型简化与坐标系的建立 情形2：圆轨道情形。此时万有引力提供向心力，使得卫星做匀速圆周运动，设此时卫星的 线速度为 ，引力常数为G，则有 v 1 2 Mm v G m 1 . （1） 2 r0 r0 GM r 解得v ，此时卫星的运行轨道为以A 点为圆心以 为半径的圆，如图3所示。 1 0 r 0 图3 情形1和情形2 的轨道 接下来的问题是，当卫星的发射初速大于0但是小于 时，卫星的运行轨道是怎样的呢？容