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2021 年考研数一真题及答案解析(完整版)
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2022 年考研数一真题与答案解析
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数学一试题答案
一、选择题:1~8 小题,每题 4 分,共 32 分, 以下每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
〔1〕B
〔2〕D
〔3〕D
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〔4〕B
〔5〕B
〔6〕A
〔7〕〔B〕
〔8〕〔D〕
二、填空题:9?14 小题,每题 4 分,共 24 分, 请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
〔10〕〔9〕2x ? y ? z ?1 ?
〔10〕
f ( ?1) ? 1
〔11〕 y
ln
x
? 2x ?1
?〔12〕
?
〔13〕[-2,2]
〔14〕 2
5n
三、解答题:15—23 小题,共94 分.请将解答写在答.题.纸.指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
〔15〕【答案】
lim
?x [ t 2 ( e 1
x1
x
?1) ? t ]dt
1
x???
x2 ln(1? ) x
( e x ?1)?x t dt ? ? tdt
1
2 x
? lim 1 1
x????x
? lim x2 ( e ?1) ? x
x???
1
令u ? , x
则lim x2 ( e ?1) ? x
x???
? lim
u?0?
? lim
eu ?1? u u2
eu ?1 ? 1
u?0?
2u 2
【答案】
3y2 y? ? y2 ? x ? 2 yy? ? 2xy ? x2 y? ? 0
y2 ? 2xy ? 0
。y( y ? 2x ) ? 0
。
时,y ? 0( 舍)或y ? ?2x
时,
y ? ?2x
y3 ? xy2 ? x2 y ? 6 ? 0
? 8x3 ? x ?( 4x2 ) ? x2 ?( ?2x ) ? 6 ? 0
? 8x3 ? 4x3 ? 2x3 ? 6 ? 0
? 6x3 ? 6 ? 0
x3 ? 1 ? x ? 1, y ? ?2
6( y? )2 y ? 3y2 y ? ? 2 yy? ? 2 y?y ? x ? 2( y? )2 ? x ? 2 yy ? ? 2 y ? 2xy? ? 2xy? ? x2 y ? ? 0 12 y ?(1) ? 4 y ?(1) ? 4 ? y ?(1) ? 0
9 y ?(1) ? 4
y ?(1) ? 9 ? 0
4
所以y(1 ) ? ?2 为极小值。
【答案】
?E
?x ? f ?( ex cos y )ex cos y
?2 E
?x2
?E
? f ?( ex cos y )e2 x cos2 y ? f ?( ex cos y )ex cos y
?y ? f ?( ex cos y )ex( ? sin y )
?2 E
?y2
? f ?( ex cos y )e2 x sin2 y ? f ?( ex cos y )ex( ? cos y )
?2 E ? ?2 E ? f
?x2 ?y2
?( ex cos y )e2 x
? ( 4E ? ex cos y )e2 x
f ?( ex cos y ) ? 4 f ( ex cos y ) ? ex cos y
?令 ,
?
ex cos y u
那么 f ?( u ) ? 4 f ( u ) ? u ,
故 f ( u ) ? C e2u
1
? C e?2u ? ,( C
u2 4 1
u
,C 为任意常数)
2
由 f ( 0 ) ? 0, f ?( 0 ) ? 0, 得
f ( u ) ?
e2u
e?2u ? u
16 16 4
【答案】
补? : ?( x, y, z ) z ? 1?的下侧,使之与 ? 围成闭合的区域
1
,
?
?????
??? ?
? ?1 ??
? ?
?
[ 3( x
?1)2 ?
3( y
?1)2 ?
1]dxdydz
? ?2?? d? ?1 d? ?1 [ 3( ? cos? ?1)2 ? 3( ? sin? ?1)2 ?1] ?dz
0 0 ? 2
? ?2?? d? ?1 d? ?1 [ 3? 2 ? 6? 2 cos? ? 6? 2 sin? ? 7? ]dz
0 0 ? 2
?
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