2022年考研数学三真题及解析.docx

2021 年考研数学三真题及解析 - - PAGE 2 - 2022 年考研数学〔三〕真题 一、填空题：1－6 小题，每题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. 〔1〕 ? n ?1 ???1?n lim? ?  ???. n?? ? n ? 〔2〕设函数f (x) 在x ? 2 的某邻域内可导,且 f ??x?? e f ?x? ， f ?2?? 1 ， 那么 f ??2????. 〔3〕设函数 f (u) 可微,且 f ??0?? 1 ,那么z ? f ?4x2 ? y2 ?在点(1,2)处 2 的全微分 dz ?1,2? ???. 〔4〕设矩阵 ? 2 1 ? ， A ? ? ?1 2? E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 B ? ? ，那么 .BA ? B ? 2E B ? ，那么 . 〔5〕设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间?0,3?上的均 匀分布，那么P?max?X ,Y?? 1?? . 〔6〕设总体X 的概率密度为 f ?x?? 1 e? x ??? ? x ? ???, X , X , , X 为总 2 1 2 n ?体 的简单随机样本，其样本方差为 ，那么 ? X S 2 ES 2 . 二、选择题：7－14 小题，每题 4 分，共 32 分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. 〔7〕设函数y ? f (x) 具有二阶导数，且f ?(x) ? 0, f ?(x) ? 0 ，?x 为自 变量 在点 x x 处的增量，  ?y与dy 分别为 在点 f (x) x 处对应的 0 0 增量与微分，假设?x ? 0 ，那么 (A)  . (B) .0 ? dy ? ?y 0 ? ?y ? d . (B) . (C) [ ] ?y ? dy ? 0 . (D) dy ? ?y ? 0 . 〔8〕设函数 f ?x?在  x ? 0 处连续，且  ?lim ? h?0  f h2 h2 ? ，那么 ?1 ? (A) f ?0?? 1且f f ?0?? 0且f ? ?0?存在 ? ? ?0? 存在 (B) ? (C) f ?0?? 0且f ? ?0? 存 在 ? (D) f ?0?? 1且f ? ?0?存在 [ ] ? 〔9〕假设级数?? n?1 收敛，那么级数 a n ?? a 收敛 . 〔B〕?? 收敛. ?( 1)n a ? n?1 n n n?1 (C) ??  a a n n?1 收敛. (D) ?? a ? a n 2  n?1 收敛. n?1 n?1 [ ] 〔10〕设非齐次线性微分方程y? ? P(x) y ? Q(x) 有两个不同的解为任意常数，那么该方程的通解是 y (x), y (x), C 1 2 〔Ａ〕C ?y (x) ? y (x)?. 〔Ｂ〕y (x) ? C ?y (x) ? y (x)?. 1 2 1 1 2 〔 Ｃ 〕 C ?y (x) ? y (x)? . 〔 Ｄ 〕 1 2 y (x) ? C ?y 1 1 (x) ? y 2 (x)? [ ] (x , y )〔11〕设 f (x, y)与? (x, y) 均为可微函数，且? ?(x, y (x , y ) y 0 0  是 f (x, y) 在约束条件 选项是 ? (x, y) ? 0 下的一个极值点，以下选项正确的 - 4 - - - PAGE 5 - 那么必有 P?X ? ? 1 ? 1?? P?Y ? ? 2 ? 1? (A) ? ? ? 1 2 (B) ? ? ? 1 2 (C) ? ? ? 1 2 (D) ? ? ? 1 2 [ ] 三 、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕〔此题总分值 7 分〕 y ,求y1? y sin ? y ,求 y 设 f ?x, y ?? 1? xy ? , x ? 0, y ? 0 arctan x (Ⅰ) (Ⅱ) g ?x?? lim f ?x, y ?； .y??? . lim g ?x? x?0? 〔16〕〔此题总分值 7 分〕 计算二重积分 ，其中 是由直线 所 ??? ? ? ?y2 xydxdy D y x, ?? ? ? ? ? D 围成的平面区域. 〔17〕〔此题总分值 10 分〕证明：当0 ? a ? b ? ? 时， b sin b ? 2cos b ??b ? a sin a ? 2cos a ?? a . 〔18〕〔此题总分值 8 分〕 在xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点M ?1,0 ?，其上任意点P ?x, y??x ? 0