第8练 与圆有关的最值问题.docx

第8练　与圆有关的最值问题 一、选择题 1．设圆x2＋y2－4x＋4y＋7＝0上的动点P到直线x＋y－3eq \r(2)＝0的距离为d，则d的取值范围是(　　) A．[0,3] B．[2,4] C．[2,5] D．[3,5] 答案　B 解析　圆x2＋y2－4x＋4y＋7＝0的半径为1，圆心(2，－2)到直线x＋y－3eq \r(2)＝0的距离d＝eq \f(|2－2－3\r(2)|,\r(2))＝31，所以直线和圆相离．所以圆上的动点P到直线的距离的最大值为dmax＝3＋1＝4，最小值为dmin＝3－1＝2.故2≤d≤4. 2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝4，A，B分别是圆C1和圆C2上的动点，则AB的最大值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　圆C1的圆心C1(－1，－1)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,3)，半径r2＝2，则C1C2＝eq \r(9＋16)＝5r1＋r2＝3，所以两圆相外离，AB的最大值为C1C2＋r1＋r2＝8. 3．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq \f(4,b)＋eq \f(1,c)的最小值是(　　) A．9 B．8 C．4 D．2 答案　A 解析　圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心为C(0,1)．因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此eq \f(4,b)＋eq \f(1,c)＝(b＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,b)＋\f(1,c)))＝eq \f(4c,b)＋eq \f(b,c)＋5≥2eq \r(\f(4c,b)·\f(b,c))＋5＝9，当且仅当b＝eq \f(2,3)，c＝eq \f(1,3)时等号成立． 4．已知圆C的圆心在圆x2＋y2＝2上，且圆C与直线l：x＋y－4＝0相切，则当圆C的面积最大时，其方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝18 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝18 答案　D 解析　如图，过圆心作直线x＋y－4＝0的垂线y＝x，垂线与圆x2＋y2＝2交于A，B两点， 易知圆心在B时，所求圆的半径最大，此时面积最大，联立y＝x与x2＋y2＝2，得B(－1，－1)，圆的最大半径为eq \f(|－1－1－4|,\r(2))＝3eq \r(2)，面积最大的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝18. 5．(多选)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则(　　) A．直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0间的距离是定值 B．点(－a，b)一定在该圆外 C.eq \r(a2＋b2)的最小值是eq \f(\r(2),2) D.eq \f(a2,b＋1)的取值范围是(0，＋∞) 答案　ACD 解析　∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切， ∴d＝eq \f(|b＋1＋a|,\r(2))＝eq \r(2)，即a＋b＝1(a，b为正实数)，直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0间的距离是eq \f(|a－?－b?|,\r(2))＝eq \f(1,\r(2))(定值)，故A正确； ∵(－a－b)2＋(b－1)2＝12＋a22(0a1)， ∴点(－a，b)一定在该圆内，故B错误； eq \r(a2＋b2)表示直线a＋b＝1上的点(a，b)到原点的距离，最小为原点到直线的距离等于eq \f(\r(2),2)，故C正确； ∵eq \f(a2,b＋1)＝eq \f(?1－b?2,b＋1)＝(b＋1)＋eq \f(4,b＋1)－4≥0(b＋10)，当且仅当b＝1时取等号， ∵a＋b＝1(a，b为正实数)， ∴0b1，则上式等号不成立． ∴eq \f(a2,b＋1)的取值范围是(0，＋∞)，故D正确． 二、填空题 6．已知圆O：x2＋y2＝1，P为圆O上一点，A(1,2)，B(3，－2)，C(4,0)，则PA2＋PB2＋PC2的最大值为__________． 答案　53 解析　设P(x，y)，则x2＋y2＝1，x∈[－1,1]，由题意可得PA2＋PB2＋PC2＝[(x－1)2＋(y－2)2]＋[(x－3)2＋(y＋2)2]＋[(x－4)2＋y2]＝3x2＋3y2－16x＋34＝－16x＋37，由于x∈[－1,1]，所以－16x＋37∈[21,53]，所以PA2＋PB2＋PC2的最大值为53. 7.设实数x，y满足(x－1)2＋y2＝1，则eq \f(y,x＋1)的最大值为__________． 答案　eq \f(\r(3),3