第11练 直线与椭圆的位置关系.docx

第11练　直线与椭圆的位置关系 一、选择题 1．已知直线x－2y＋4＝0经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1 答案　B 解析　直线x－2y＋4＝0与x轴的交点为A(－4,0)，与y轴的交点B(0,2)， 故椭圆的一个焦点为F(－4,0)，短轴的一个顶点为B(0,2)， 故在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1中，c＝4，b＝2， ∴a＝eq \r(20)， 故这个椭圆的方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1. 2．已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上的动点，则P点到直线l：x＋y－2eq \r(5)＝0的距离的最小值为(　　) A.eq \f(\r(10),2) B.eq \f(\r(5),2) C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(2),5) 答案　A 解析　设与直线x＋y－2eq \r(5)＝0平行的直线方程是x＋y＋c＝0(c≠－2eq \r(5))， 与椭圆方程联立，消元可得5x2＋8cx＋4c2－4＝0， 令Δ＝64c2－20(4c2－4)＝0，可得c＝±eq \r(5)， ∴两条平行线间的距离为eq \f(|±\r(5)＋2\r(5)|,\r(2))＝eq \f(\r(10),2)或eq \f(3\r(10),2)， ∴椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上的动点P到直线l：x＋y－2eq \r(5)＝0的距离的最小值是eq \f(\r(10),2). 3．如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a1)与x轴、y轴正半轴分别交于点A，B，点P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为(　　) A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．1 D．2 答案　D 解析　由题意知，F1(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)，则点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))， 所以直线BA的斜率为kBA＝－eq \f(b,a)，直线PO的斜率为kPO＝eq \f(－\f(b2,a),c)＝－eq \f(b2,ac)， 由BA∥PO，得kBA＝kPO，所以－eq \f(b,a)＝－eq \f(b2,ac)， 即c＝b， 又b＝1，所以c＝1，所以焦距为2c＝2. 4．已知椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2 答案　B 解析　设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),36)＋\f(y\o\al(2,1),9)＝1，,\f(x\o\al(2,2),36)＋\f(y\o\al(2,2),9)＝1，)) 两式相减，得eq \f(?x1＋x2??x1－x2?,36)＋eq \f(?y1＋y2??y1－y2?,9)＝0， 所以eq \f(2?x1－x2?,9)＝－eq \f(4?y1－y2?,9)， 所以k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2). 5．(多选)已知斜率为2的直线l经过椭圆C：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的短轴长为2 B．椭圆C的离心率为eq \f(\r(5),5) C．AB＝eq \f(5\r(5),3) D．S△AOB＝eq \f(5,3) 答案　BCD 解析　∵椭圆C：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1， ∴a＝eq \r(5)，b＝2，c＝1. ∴椭圆C的短轴长为2b＝4，故A错误； 又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，故B正确； 依题意，F(－1,0)，直线l的方程为y＝2(x＋1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2?x＋1?，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，得3x2＋5x＝0， ∴x1＝0，x2＝－eq \f(5,3). 由已知x1，x2是A，B的横